Mittelwertsatz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Mi 22.12.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie mit Mittelwertsatz:
[mm]f: D\subset \IR \to \IR[/mm] reelle und auf ganz D diffbar. Und für [mm]a \in \IR[/mm] bel.
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f^`(x)=a[/mm].
(a)[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (f(x+1)-f(x))=a[/mm] |
ich glaube ich habe raus, wie der Beweis läuft, aber ich komm mit dem Limes nicht ganz klar und bräuchte da Hilfe.
Der MWS liefert: auf [x, x+1] [mm]\subset D[/mm] ex. ein c mit:
[mm]f^{|}(c)=\bruch{f(x+1)-f(x))}{x+1-x}[/mm]
[mm]\gdw f(x+1)=f^{|}(c)+f(x)[/mm]
das hab ich dann in die Beh eingesetzt:
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (f(x+1)-f(x))= \limes_{x\rightarrow\infty}(f^{|}(c)+f(x)-f(x))=\limes_{x\rightarrow\infty}f^{|}(c)[/mm]
und dann steht es ja quasi da. nur das der Limes über x läuft und ich die Ableitung an der Stelle c habe.
Wie kann man das geschickt umgehen?
Danke für jede Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Mi 22.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Beweisen oder widerlegen Sie mit Mittelwertsatz:
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> [mm]f: D\subset \IR \to \IR[/mm] reelle und auf ganz D diffbar. Und
> für [mm]a \in \IR[/mm] bel.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f^'(x)=a[/mm].
>
> (a)[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (f(x+1)-f(x))=a[/mm]
> ich glaube
> ich habe raus, wie der Beweis läuft, aber ich komm mit dem
> Limes nicht ganz klar und bräuchte da Hilfe.
>
> Der MWS liefert: auf [x, x+1] [mm]\subset D[/mm] ex. ein c mit:
>
> [mm]f^{|}(c)=\bruch{f(x+1)-f(x))}{x+1-x}[/mm]
> [mm]\gdw f(x+1)=f^{|}(c)+f(x)[/mm]
>
> das hab ich dann in die Beh eingesetzt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (f(x+1)-f(x))= \limes_{x\rightarrow\infty}(f^{|}(c)+f(x)-f(x))=\limes_{x\rightarrow\infty}f^{|}(c)[/mm]
Was ist jetzt dein Problem? Da x gegen unendlich läuft und c zwischen x und x+1 liegt, läuft auch c gegen unendlich.
Gruß Abakus
>
>
>
> und dann steht es ja quasi da. nur das der Limes über x
> läuft und ich die Ableitung an der Stelle c habe.
>
> Wie kann man das geschickt umgehen?
> Danke für jede Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Mi 22.12.2010 | | Autor: | ella87 |
danke =)
genau DIE Begründung hat mir gefeht!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Mi 22.12.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | | (b)Sei f zusätzlich beschränkt, das heißt es ex. ein [mm]M \in \IR[/mm], so dass [mm]|f(x)| \le M[/mm] für alle [mm]x \in D[/mm], so gilt a=0. |
hier bin ich irgendwie zu nix gekommen. hab mit dem MWS rumgerechnet und mit Beträgen, aber da kam nix in Richtung 0 raus.
der Fall wenn f konstant ist,den kann ich =)
hast du zur Lösung der Aufgabe vielleicht noch nen Tipp?
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Hallo Ella,
wie wärs mit einem Widerspruchsbeweis.
Sei [mm] a\not=0. [/mm] Was heißt das für f(x), wenn [mm] x\to\infty [/mm] läuft?
Übrigens ist die Aufgabe nicht ganz sauber definiert. Wer sagt eigentlich, dass man in D gegen [mm] \infty [/mm] laufen kann?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Mi 22.12.2010 | | Autor: | ella87 |
> Hallo Ella,
>
> wie wärs mit einem Widerspruchsbeweis.
>
> Sei [mm]a\not=0.[/mm] Was heißt das für f(x), wenn [mm]x\to\infty[/mm]
> läuft?
also ich führe einen Widerspruchsbeweis.
ich glaub ich verstehe auch wie:
wenn [mm]a\not=0.[/mm] dann wäre f monoton wachsend oder fallend und würde dann irgendwann über M hinaus wachsen.
Nur wie macht man das formal?
Fange ich wie bei der erstan Aufgabe an? also mit dem MWS?
c aus [x, x+1]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} f^{|}(c)=\limes_{n\rightarrow\infty}(f(x+1)-f(x)) \le M-M [/mm]
so? [bestimmt doch nicht oder, das wär zu simpel =) ]
> Übrigens ist die Aufgabe nicht ganz sauber definiert. Wer
> sagt eigentlich, dass man in D gegen [mm]\infty[/mm] laufen kann?
>
Stimmt =) der Assistent ist ein Überkorrekter, der allerdings solche Dinge gerne mal übersieht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Fr 24.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Ella,
> >
> > wie wärs mit einem Widerspruchsbeweis.
> >
> > Sei [mm]a\not=0.[/mm] Was heißt das für f(x), wenn [mm]x\to\infty[/mm]
> > läuft?
>
> also ich führe einen Widerspruchsbeweis.
> ich glaub ich verstehe auch wie:
> wenn [mm]a\not=0.[/mm] dann wäre f monoton wachsend oder fallend
> und würde dann irgendwann über M hinaus wachsen.
Wer sagt, dass f monoton sein muß ?
> Nur wie macht man das formal?
> Fange ich wie bei der erstan Aufgabe an? also mit dem
> MWS?
>
> c aus [x, x+1]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} f^{|}(c)=\limes_{n\rightarrow\infty}(f(x+1)-f(x)) \le M-M[/mm]
>
> so? [bestimmt doch nicht oder, das wär zu simpel =) ]
Nein das stimmt nicht.
>
> > Übrigens ist die Aufgabe nicht ganz sauber definiert. Wer
> > sagt eigentlich, dass man in D gegen [mm]\infty[/mm] laufen kann?
> >
>
> Stimmt =) der Assistent ist ein Überkorrekter, der
> allerdings solche Dinge gerne mal übersieht!
Wir nehmen einfach mal an, dass D=[0, [mm] \infty) [/mm] ist.
Annahme: a>0.
Wegen a) ex. ein [mm] x_0>0 [/mm] mit:
a/2<f(x+1)-f(x) für alle x [mm] \ge x_0.
[/mm]
Sei $S:=sup [mm] \{f(x): x \ge x_0 \}$
[/mm]
Dann bekommen wir:
a/2+f(x)<f(x+1) [mm] \le [/mm] S für alle x [mm] \ge x_0
[/mm]
Somit: f(x) [mm] \le [/mm] S-a/2 für alle x [mm] \ge x_0
[/mm]
und damit: [mm] S\le [/mm] S-a/2
Dies liefert den Widerspruch a [mm] \le [/mm] 0
Genauso führt man die Annahme a<0 zum Widerspruch, indem man benutzt, dass f nach unten beschränkt ist.
FRED
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