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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:00 Di 23.11.2010 | | Autor: | mbohrer |
| Aufgabe | Beweisen Sie dass,
[mm] \begin{vmatrix}
f(a) & f(b) & f(c) \\
g(a) & g(b) & g(c) \\
h(a) & h(b) & h(c) \end{vmatrix} = \bruch{1}{2}\left( b-c \right) \left( c-a \right) \left( a-b \right) \begin{vmatrix}
f(a) & f'(\beta) & f''(\gamma) \\
g(a) & g'(\beta) & g''(\gamma) \\
h(a) & h'(\beta) & h''(\gamma) \end{vmatrix} [/mm]
[mm] \beta \gamma \in \left\{ min(a,b,c),max(a,b,c) \right\} [/mm]
f,g,h sind Funktionen. |
Hallo!
Ich habe eine Hilfsunktion definiert
[mm] \Phi(x) = \begin{vmatrix}
f(a) & f(b) & f(x) \\
g(a) & g(b) & g(x) \\
h(a) & h(b) & h(x) \end{vmatrix} - \bruch{(x-a)(x-b)}{c-a)(c-b}\begin{vmatrix}
f(a) & f(b) & f(c) \\
g(a) & g(b) & g(c) \\
h(a) & h(b) & h(c) \end{vmatrix} [/mm]
[mm] \Phi(a) = \Phi(b) = \Phi(c) = 0 [/mm]
Dann nach dem Satz von Rolle wird die erste Ableitung zwei mal Null zwischen a,b,c.
Da wird die erste Ableitung zwei mal Null wird die zweite Ableitung auch ein mal Null. (noch mal nach Rolle)
Damit bekomme ich fast was gefragt wird.
[mm] \Phi''(x) = \begin{vmatrix}
f(a) & f(b) & f''(x) \\
g(a) & g(b) & g''(x) \\
h(a) & h(b) & h''(x) \end{vmatrix} - \bruch{2}{(c-a)(c-b)}\begin{vmatrix}
f(a) & f(b) & f(c) \\
g(a) & g(b) & g(c) \\
h(a) & h(b) & h(c) \end{vmatrix} [/mm]
Das ist gleich Null für einen Wert.
Was kann ich machen um die erste Ableitung statt die Funktionen bei der "b Spalte" zu haben? Auch um (a-b) vor der zweite Matrix zu haben...
Ich dachte Erweiterter Mittelwertsatz der Differentialrechnung, aber mir ist es nicht so klar wie es mit 3 Funktionen geht.
Hat jemand eine Idee was ich machen kann?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Mi 01.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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