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| Aufgabe | Nutzen Sie den mittelwertsatz der differentialrechnung um zu zu zeigen, dass
[mm] \bruch{1}{\wurzel{66}}<\wurzel{66}-8<\bruch{1}{8} [/mm] |
hi,
also ich habe mir gedacht, dass ich eine quadratische funktion mit nullstellen [mm] \bruch{1}{\wurzel{66}} [/mm] und [mm] \bruch{1}{8} [/mm] nehme. Dann gilt an einem punkt [mm] x_0 [/mm] zwischen den beiden nullstellen, dass die die tangente doch auch die steigung null hat, also dass die ableitung dort null ist.
also setze ich die erste ableitung gleich null. ich erhalte dabei aber das ergebnis
[mm] \bruch{\wurzel{66}+8}{16*\wurzel{66}} [/mm] was mich mit der aufgabenstellung nicht wirklich weiterbringt, obgeich dieses ergebnis [mm] \wurzel{66}-8 [/mm] sehr nahe kommt.
wo liegt mein (denk-)fehler ?
lg,
exeqter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Setze f(x) = [mm] \wurzel{x}
[/mm]
stelle die Differenz [mm] \wurzel{66}-8 [/mm] = f(66)-f(64)
mit dem Mittelwertsatz dar
FRED
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hallo fred,
danke erstmal für deine antwort.
[mm] f(x)=\wurzel{x}
[/mm]
dann gilt laut dem mittelwertsatz:
[mm] \bruch{f(66)-f(64)}{64-66}=\bruch{\wurzel{66}-8}{-2}
[/mm]
war es das, was du meintest ? wenn ich dort jetzt weiterrechne, dann komme ich zu dem ergebnis, dass die ableitung von f(x) niemals den Wert [mm] \bruch{\wurzel{66}-8}{-2}
[/mm]
annimmt. das war bestimmt nicht worauf du hinauswolltest, oder ? Entschuldige meine dummheit *g*
Lg,
exeqter
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> hallo fred,
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> danke erstmal für deine antwort.
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> [mm]f(x)=\wurzel{x}[/mm]
>
> dann gilt laut dem mittelwertsatz:
>
> [mm]\bruch{f(66)-f(64)}{64-66}=\bruch{\wurzel{66}-8}{-2}[/mm]
Hallo,
das, was nach dem MWS gilt, solltest Du nun auch mal hinschreiben...
Da fehlt ja das Wichtigste!
Also: nach dem MWS existiert ...
Gruß v. Angela
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hallo angela,
danke für deine antwort. Was genau meintest du ? Nach dem MWS exisitiert im Intervall a,b eine zur Sekante durch a und b parallele tangente durch den punkt c mit a<c<b ?!
Ich habe es jetzt nochmal durchgerechnet und etwas anders gemacht. Und zwar so:
Da ja das c zwischen a und b liegt, kann es weder das maximum noch das minimum der ableitung in diesem Intervall sein, also gilt:
[mm] f'_{min}(x)<\bruch{f(a)-f(b)}{a-b}
So nun war zu zeigen, dass :
[mm] \bruch{1}{\wurzel{66}}<\wurzel{66}-8<\bruch{1}{8}
[/mm]
also:
[mm] f'(66)<\bruch{f(66)-f(64)}{66-64} \Rightarrow \bruch{1}{\wurzel{66}}<\wurzel{66}-8
[/mm]
und
[mm] \bruch{f(66)-f(64)}{66-64}\wurzel{66}-8
[/mm]
Ist das korrekt ?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:52 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Nach den Mittelwertsatz gibt es ein $t [mm] \in [/mm] (64,66)$ mit:
[mm] $\bruch{f(66)-f(64)}{66-64}= [/mm] f'(t)$
Also
$f(66)-f(64) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{t}} \in (\bruch{1}{\wurzel{66}} ,\bruch{1}{\wurzel{64}}) [/mm] $
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:00 Fr 20.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Angelas Antwort:
> [mm]\bruch{f(66)-f(64)}{64-66}=\bruch{\wurzel{66}-8}{-2}[/mm]
Hier sollte
[mm]\bruch{f(66)-f(64)}{66-64}=\bruch{\wurzel{66}-8}{2}[/mm]
stehen
FRED
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