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Hallo,
wir nehmen derzeit den Mittelwertsatz durch und dazu habe ich einige Rückfragen.
Der erste Satz von Rolle ist mir ja noch klar: Haben beieiner stetigen Funktion in einem geschlossenen Intervall die Punkte f(a) und f(b) den gleichen Wert, so muss es eine Ableitung = 0 geben (Aber: Warum heißt es: Die Funktion sei eine stetige und auf dem offenen Intervall (a,b) differenzierbare Funktion, jedoch f:[a,b] -> R? Ich dachte die Funktion müsste allgemein auf einem geschlossenen Intervall liegen?).
Der zweite Satz besagt, dass eine stetige FUnktion in so einem Intervall immer eine Ableitung die lautet: f(b)-f(a)/b-a. Frage: Kann ich so einfach für jede beliebige Funktion eine Ableitung bestimmen, ohne Nullstellenberechnung anzustellen, oder wobei hilft mir dieser Satz?
Den letzten verstehe ich nicht ganz:
Bei zwei Funktionen gilt, dass wenn g'(x) ungleich 0, dann ist g(a) ungleich g(b) und f'(x)/g'(x)= f(b)-f(a)/g(b)-g(a).
Wobei hilft mir dieser Satz und was will er mir sagen?
Lieben Dank!
PS: Noch eine ergänzende Frage: Was sagt mir nun der folgende Satz, bzw was kann ich damit anfangen?
m(x2-x1) kleiner gleich f(x2)-f(x1) kleiner gleich M(x2-x1) wobei x1 kleiner gleich x2 sein soll.
Ist m ein Minimum und M ein Maximum?
Wie hängen diese Sätze zusammen und was kann ich praktisch damit anfangen?
Eine andere Folgerung ist ja zB, dass wenn f'(x) größer 0 ist, auf einem abgeschlossenen Intervall f monoton wachsend ist (streng). Bestimme ich nun so die Monotonie? Ich kenne doch gar nicht "alle x Element (a,b)".
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 Sa 27.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo
> Der erste Satz von Rolle ist mir ja noch klar: Haben
> beieiner stetigen Funktion in einem geschlossenen Intervall
> die Punkte f(a) und f(b) den gleichen Wert, so muss es eine
> Ableitung = 0 geben (Aber: Warum heißt es: Die Funktion sei
> eine stetige und auf dem offenen Intervall (a,b)
> differenzierbare Funktion, jedoch f:[a,b] -> R? Ich dachte
> die Funktion müsste allgemein auf einem geschlossenen
> Intervall liegen?).
Die Funktion muss auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] definiert und stetig sein, und auf dem offenen Intervall (a,b) differenzierbar.
> Der zweite Satz besagt, dass eine stetige FUnktion in so
> einem Intervall immer eine Ableitung die lautet:
> f(b)-f(a)/b-a. Frage: Kann ich so einfach für jede
> beliebige Funktion eine Ableitung bestimmen, ohne
> Nullstellenberechnung anzustellen, oder wobei hilft mir
> dieser Satz?
Da steht aber sicher als Voraussetzung dabei, dass die Funktion im offenen Interval (a,b) differenzierbar sein muss. Sonst kannst du die Ableitung nicht bilden.
Der Satz sagt dir nur, dass es mindestens einen Punkt gibt, an dem die Ableitung diesen Wert hat, er hilft dir überhaupt nicht bei der Frage, welcher Punkt das ist. Also: es gibt eine Zahl t, sodass $f'(t)$ gerade den Wert [mm] $\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}$ [/mm] hat, aber welche Zahl das ist, weisst du nicht.
Ist dir anschaulich klar, was der Satz bedeutet? Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier oder hier!
> Den letzten verstehe ich nicht ganz:
>
> Bei zwei Funktionen gilt, dass wenn g'(x) ungleich 0, dann
> ist g(a) ungleich g(b) und f'(x)/g'(x)=
> f(b)-f(a)/g(b)-g(a).
>
> Wobei hilft mir dieser Satz und was will er mir sagen?
Das ist eine Verallgemeinerung, für die mir keine anschauliche Darstellung einfällt. Der Mittelwertsatz sagt für die Funktionen f und g, dass es für f eine Zahl [mm] $x_1$ [/mm] und für g eine Zahl [mm] $x_2$ [/mm] gibt, sodass
[mm] f'(x_1) = \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}[/mm] und [mm] g'(x_2) = \bruch{g(b)-g(a)}{b-a}[/mm]
Daraus folgt:
[mm] f'(x_1)(g(b)-g(a)) = g'(x_2) (f(b)-f(a)) [/mm]
Das ist also schon durch den ersten Mittelwertsatz gegeben. Der neue Satz sagt dir, dass es sogar ein einziges x gibt, sodass
[mm] f'(x)(g(b)-g(a)) = g'(x) (f(b)-f(a)) [/mm]
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> Lieben Dank!
>
> PS: Noch eine ergänzende Frage: Was sagt mir nun der
> folgende Satz, bzw was kann ich damit anfangen?
>
> m(x2-x1) kleiner gleich f(x2)-f(x1) kleiner gleich M(x2-x1)
> wobei x1 kleiner gleich x2 sein soll.
>
> Ist m ein Minimum und M ein Maximum?
Da fehlt mir der Bezug, da müsste ich raten, was gemeint ist. Kannst du mal posten, in welchem Zusammenhang das auftritt?
> Wie hängen diese Sätze zusammen und was kann ich praktisch
> damit anfangen?
>
> Eine andere Folgerung ist ja zB, dass wenn f'(x) größer 0
> ist, auf einem abgeschlossenen Intervall f monoton wachsend
> ist (streng). Bestimme ich nun so die Monotonie? Ich kenne
> doch gar nicht "alle x Element (a,b)".
Ja, aber das ist das Schöne an diesen Sätzen: sie liefern dir die Aussage für alle [mm] $x\in[a,b]$, [/mm] ohne dass du alle x kennen oder aufzählen musst.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo,
erstmal danke für die Mühe.
Ich bin aber immernoch etwas ratlos, was mir diese Sätze zB speziell in einer Matheklausur bringen. Wozu wende ich sie an? Oder sind sie gar keine "Anwendungssätze"?
Setze ich einfach irgendeinen Punkt auf dem Graphen ein? Wie gehe ich vor, wenn ich den Satz brauche (wann soll das sein?)?
Der andere Satz bezieht sich auf eine "Anwendung" Zum Thema Ableitungen und Monotonieverhalten.
Es sei f: [a,b] -> R eine stetige Funktion, die auf (a,b) differenzierbar ist [differenzierbar heißt doch einfach, es gibt eine Ableitung, die nicht 0 ist oder?] Ist ihre ABleitung durch zwei Konstanten m,M Element R beschränkt:
m kleiner gleich f'(x) kleiner gleich M für alle x Element (a,b)
dann gilt
[mm] m*(x_2 [/mm] - [mm] x_1) [/mm] kleiner gleich [mm] f(x_2) [/mm] - [mm] f(x_1) [/mm] kleiner gleich [mm] M*(x_2 [/mm] - [mm] x_1) [/mm] für alle Punkte [mm] x_1 [/mm] , [mm] x_2 [/mm] mit [mm] x_1 [/mm] kleiner gleich [mm] x_2.
[/mm]
Was will mir der Satz sagen?
Vor allem gibt es daraus ja Folgerungen, wie:
f'(x) größer gleich 0 für alle x, dann ist f monoton wachsend auf [a,b].
Ich kann damit aber nichts anfangen, weil ich immernoch nicht verstehe, wie ich das herausfinde und wie das geht dass ich das für alle herausfinde? Indem ich vorher das Minimum und Maximum gefunden habe (m, M)? Aber das scheint sdich ja auf den Mittelwertsatz zu beziehen.
Hilfe :(
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> Ich bin aber immernoch etwas ratlos, was mir diese Sätze zB
> speziell in einer Matheklausur bringen. Wozu wende ich sie
> an?
Hallo,
ich frage mich, welcher Art Antwort Du auf Deine Frage Du erwartest.
Du wendest den MWS da an, wo Du ihn gebrauchen kannst...
Insbesondere wird dies bei Aufgaben zum Thema MWS der Fall sein.
> Oder sind sie gar keine "Anwendungssätze"?
> Setze ich einfach irgendeinen Punkt auf dem Graphen ein?
???
> Wie gehe ich vor, wenn ich den Satz brauche
Du wendest ihn an.
> (wann soll das
> sein?)?
Schau Dich doch mal im Forum um. Da dürften einige Übungsaufgaben mit dem MWS zu finden sein.
Ein ganz einfaches Beispiel:
Dir wird gesagt, daß f:[5,10] [mm] \to \IR [/mm] setig und auf (5,10) diffbar ist, wobei f(5)= 20, f(10)=65,
und Du sollst zeigen, daß es im Intervall (5,10) eine Stelle gibt, an welcher die Tangente an den Graphen von f parallel zu der Geraden y=9x+4711 ist.
> Der andere Satz bezieht sich auf eine "Anwendung" Zum Thema
> Ableitungen und Monotonieverhalten.
>
> Es sei f: [a,b] -> R eine stetige Funktion, die auf (a,b)
> differenzierbar ist [differenzierbar heißt doch einfach, es
> gibt eine Ableitung, die nicht 0 ist oder?]
Nein. Diffbar an der Stelle [mm] x_0 [/mm] bedeutet, daß die Funktion an der Stelle [mm] x_0 [/mm] eine Ableitung hat.
>auf (a,b)
> differenzierbar ist
bedeutet also, daß die Funktion hier überall eine Ableitung hat.
> Ist ihre
> ABleitung durch zwei Konstanten m,M Element R beschränkt:
>
> m kleiner gleich f'(x) kleiner gleich M für alle x Element
> (a,b)
>
> dann gilt
>
> [mm]m*(x_2[/mm] - [mm]x_1)[/mm] kleiner gleich [mm]f(x_2)[/mm] - [mm]f(x_1)[/mm] kleiner gleich
> [mm]M*(x_2[/mm] - [mm]x_1)[/mm] für alle Punkte [mm]x_1[/mm] , [mm]x_2[/mm] mit [mm]x_1[/mm] kleiner
> gleich [mm]x_2.[/mm]
>
> Was will mir der Satz sagen?
Vielleicht machst Du Dir in Zukunft die Mühe, Dich des Formeleditors zu bedienen, Eingabehilfen befinden sich unterhalb des Eingabefensters.
Man kann das dann nämlich um Klassen besser lesen und verstehen.
Der Satz will Dir das sagen, was da steht: wenn Du zwei Stellen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] im Intervall nimmst, ist der Abstand ihrer Funktionswerte beschränkt nach oben und unten so, wie es im Satz steht.
>
> Vor allem gibt es daraus ja Folgerungen, wie:
>
> f'(x) größer gleich 0 für alle x, dann ist f monoton
> wachsend auf [a,b].
>
> Ich kann damit aber nichts anfangen, weil ich immernoch
> nicht verstehe, wie ich das herausfinde
Vielleicht postest Du hierzu den Dir vorliegenden Beweis, dann kann man das besprechen.
Aber auch ohne den beweis kannst Du Dir einfach merken: ist die Ableitung einer Funktion in einem Intervall stets [mm] \ge [/mm] 0, so ist die Funktion hier monoton wachsend.
Das sit ziemlich praktisch, wenn Dir diffbare Funktionen gegeben sind und Du über ihre Monotonier rede und Antwort stehen sollst.
Gruß v. Angela
> und wie das geht
> dass ich das für alle herausfinde? Indem ich vorher das
> Minimum und Maximum gefunden habe (m, M)? Aber das scheint
> sdich ja auf den Mittelwertsatz zu beziehen.
>
> Hilfe :(
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