Mittelwertsatz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Aufgabe 4:
(a)Beweisen Sie die folgende Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes: Sind f,g:[a,b]--> R diff.-bar im offenen Intervall (a,b) und stetig in den Randpunkten a,b und gilt g'(x) nicht 0 für alle x aus (a,b), dann ist g(b) ungleich g(a) und es gibt ein psi aus (a,b) mit
f'(x)/g'(x) = (f(b)-f(a)) / (g(b) - (g(a))).
(b)Nutzen Sie die aus dieser Verallgemeinerung folgende Regel von l'Hospital, um die Grenzwerte [mm] \limes_{n\rightarrow\0} (sin(x^{2}) [/mm] / x) und lim (x von oben -->0) [mm] (x^{x}) [/mm] zu berechnen.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
eine weitere Aufgabe, von der ich erhoffte, dass ihr euch die mal anschaut und mir sagt ob ich auf dem richtigen Weg bin. Dankeschön.
mfg
Ultio
(a) Der Mittelwertsatz besagt für f und g mit den genannten Vorraussetzungen:
f'(psi) = (f(b)-f(a)) / (b-a) und
g'(psi) = (g(b)-g(a)) / (b-a)
daraus folgt für
f'(psi) / g'(psi) = [(f(b)-f(a)) / (b-a)] / [(g(b)-g(a)) / (b-a)]
= [(f(b)-f(a)) / (b-a)] * [(b-a) / (g(b)-g(a))]
= (f(b)-f(a)) / (g(b)-g(a))
q.e.d.
(b)
[mm] \limes_{n\rightarrow\0} (sin(x^2) [/mm] / x)
da lim (x--> 0) [mm] (sin(x^2)) [/mm] = 0 und lim(x-->0) x = 0 :
lim (x-->0) [mm] (sin(x^2) [/mm] / x) = lim (x-->0) (2* [mm] cos(x^2)) [/mm] = 1
lim (x von oben -->0) [mm] (x^{x}) [/mm] = 1
kann mir hier jemand mal weiterhelfen wie ich das "splitten muss": in e^(x*ln(x))? Und wie bilde ich dann die einzelnen Grenzwerte?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Ultio |
Muss da nicht [mm] 2*x*cos(x^{2}) [/mm] stehen?
> lim (x-->0) [mm](sin(x^2)[/mm] / x) = lim (x-->0) (2* [mm]cos(x^2))[/mm] =
> 1
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Hallo Felix,
benutze doch bitte unseren Formeleditor und die Vorschaufunktion vor dem Absenden deines Geschreibsels, dies hier ist kaum lesbar.
Wenn du den Helfern ein solches Zeichenwirrwarr zumutest, kannst du nur schwerlich mit schneller Hilfe rechnen, denke dir mal, du wolltest es beantworten ...
> Aufgabe 4:
> (a)Beweisen Sie die folgende Verallgemeinerung des
> Mittelwertsatzes: Sind f,g:[a,b]--> R diff.-bar im offenen
> Intervall (a,b) und stetig in den Randpunkten a,b und gilt
> g'(x) nicht 0 für alle x aus (a,b), dann ist g(b) ungleich
> g(a) und es gibt ein psi aus (a,b) mit
> f'(x)/g'(x) = (f(b)-f(a)) / (g(b) - (g(a))).
> (b)Nutzen Sie die aus dieser Verallgemeinerung folgende
> Regel von l'Hospital, um die Grenzwerte
> [mm]\limes_{n\rightarrow\0} (sin(x^{2})[/mm] / x)
Wenn hier n gegen 0 läuft, ist doch alles prima, dann ist deine Funktion konstant ...
Brüche kannst du so eintippen: \bruch{\sin(x^2)}{x}, das ergibt das schön leserliche [mm] $\bruch{\sin(x^2)}{x}$
[/mm]
> und lim (x von oben -->0) [mm](x^{x})[/mm] zu berechnen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> eine weitere Aufgabe, von der ich erhoffte, dass ihr euch
> die mal anschaut und mir sagt ob ich auf dem richtigen Weg
> bin. Dankeschön.
> mfg
> Ultio
>
>
> (a) Der Mittelwertsatz besagt für f und g mit den genannten
> Vorraussetzungen:
> f'(psi) = (f(b)-f(a)) / (b-a) und
> g'(psi) = (g(b)-g(a)) / (b-a)
>
> daraus folgt für
> f'(psi) / g'(psi) = [(f(b)-f(a)) / (b-a)] /
> [(g(b)-g(a)) / (b-a)]
>
> = [(f(b)-f(a)) / (b-a)] * [(b-a) / (g(b)-g(a))]
>
> = (f(b)-f(a)) / (g(b)-g(a))
> q.e.d.
Das Problem hier ist, dass ich nicht sehen kann, wieso das [mm] $\psi$ [/mm] bzw. [mm] $\xi$ [/mm] (xi) für die Funktionen f und g dasselbe sein sollte ...
Üblicherweise funktioniert der Beweis über eine Hilfsfunktion [mm] $h(x):=(f(b)-f(a))\cdot{}g(x)-(g(b)-g(a))\cdot{}f(x)-f(b)\cdot{}g(a)+f(a)\cdot{}g(b)$
[/mm]
Es ist $h(a)=h(b)=0$ und $h$ stetig diffbar, da $f$ und $g$ es sind, also kannst du den Satz von Rolle anwenden ...
>
> (b)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\0} (sin(x^2)[/mm] / x)
> da lim (x--> 0) [mm](sin(x^2))[/mm] = 0 und lim(x-->0) x = 0 :
> lim (x-->0) [mm](sin(x^2)[/mm] / x) = lim (x-->0) (2* [mm]cos(x^2))[/mm] =
> 1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du hast die innere Ableitung von [mm] $\sin(x^2)$ [/mm] vergessen!
[mm] $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x^2)}{x}=\frac{0}{0}$, [/mm] also ein unbestimmter Ausdruck, also mit de l'Hôpital:
[mm] $...=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\left[\sin(x^2)\right]'}{[x]'}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2x\cdot{}\cos(x^2)}{1}=\frac{2\cdot{}0\cdot{}1}{1}=0$
[/mm]
>
> lim (x von oben -->0) [mm](x^{x})[/mm] = 1
> kann mir hier jemand mal weiterhelfen wie ich das
> "splitten muss": in e^(x*ln(x))? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und wie bilde ich dann die
> einzelnen Grenzwerte?
Nimm dir den Exponenten her, also [mm] $x\cdot{}\ln(x)$ [/mm] und schaue, was für [mm] $x\downarrow [/mm] 0$ passiert.
Tipp: Schreibe [mm] $x\cdot{}\ln(x)=\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}$ [/mm] ...
Dann gilt wegen der Stetigkeit der e-Funktion [mm] $\lim\liits_{x\downarrow 0}e^{x\ln(x)}=e^{\lim\limits_{x\downarrow 0}x\ln(x)}$
[/mm]
Also den GW des Exponenten noch [mm] $e^{(...)}$ [/mm] nehmen
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Ultio |
Ok hab's jetzt glaub ich...danke
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