Mittelwertsatz-Eindeutigkeit < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Sa 30.01.2010 | | Autor: | dupline |
| Aufgabe | Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt, dass es ein [mm] x_{0} \in [/mm] [a,b] gibt mit [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \f(x_{0})(b-a).
[/mm]
Frage: Durch welche Eigenschaft von f lässt sich Eindeutigkeit von [mm] x_{0} [/mm] erzwingen? |
Hallo zusammen,
ich hab mir überlegt, dass die Funktion stetig, monoton sein muss... aber das trifft ja z.B. auf f(x)=5 auch zu ... und hier ist das [mm] x_{0} [/mm] nicht eindeutig... oder??
Ich versteh's grad irgendwie nicht.
Jetzt schon mal Danke für die Hilfe.
VG Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Sa 30.01.2010 | | Autor: | pelzig |
So wie dus geschrieben hast ist die Aussage falsch. Zum Beispiel gibt es kein [mm] $x_0\in[0,1]$ [/mm] mit [mm] $$\int_0^12\ dt=x_0.$$Gruß, [/mm] Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Sa 30.01.2010 | | Autor: | dupline |
Ja ok, das stimmt.
Aber da muss ich die Eigenschaft ja über die Grenzen dann machen oder?
Also z.B. [mm] x^2 [/mm] ist auf dem Intervall [-2;2] nicht eindeutig aber auf dem Intervall [0,2] schon.
In der Frage steht aber welche Eigenschaft muss die Funktion haben, damit es ein eindeutiges x0 gibt.
???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Sa 30.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Ich habe gerade gesehen, dass du zwar schon die richtige Behauptung geschrieben hast, aber falsch in den Formeleditor eingegeben hast. Also dein "Mittelwertsatz" lautet: Ist $f$ stetig auf $[a,b]$, so gibt es ein [mm] $x_0\in[a,b]$ [/mm] mit [mm] $\int_a^bf(t)\ dt=f(x_0)(b-a)$.
[/mm]
Das kann man z.B. wie folgt beweisen: f nimmt auf dem Kompaktum sein Minimum [mm] $m=f(x_\star)$ [/mm] und sein Maximum [mm] $M=f(x^\star)$ [/mm] an. Damit gilt aufgrund der Monotonie des Integrals [mm] $$(b-a)f(x_\star)\le\int_a^b [/mm] f(t)\ [mm] dt\ge (b-a)f(x^\star)$$ [/mm] und nach dem Zwischenwertsatz nimmt die stetige Funktion [mm]x\mapsto (b-a)f(x)[/mm] jeden Wert dazwischen, also insbesondere auch [mm] $\int_a^b [/mm] f(t)\ dt$, an. Für die Eindeutigkeit ist die Injektivität von $f$ hinreichend, was gleichbedeutend damit ist, dass $f$ ist streng monoton ist.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Sa 30.01.2010 | | Autor: | dupline |
oh, ja das hab ich falsch eingetippt... sollte natürlich [mm] f(x_{0}) [/mm] heißen!
> [mm](b-a)f(x_\star)\le\int_a^b f(t)\ dt\ge (b-a)f(x^\star)[/mm]
sollte es nicht [mm](b-a)f(x_\star)\le\int_a^b f(t)\ dt\le (b-a)f(x^\star)[/mm]
(also jedes Mal kleiner gleich) heißen?
>was gleichbedeutend damit ist, dass $ f $ ist streng monoton ist.
Ist eine Konstante (z.B. $f(x)=2$) denn nicht streng monoton?? Und dort habe ich keine Eindeutigkeit oder?
Sorry ich sitz grad irgendwie aufm Schlauch :)
Gruß dupline
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Sa 30.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> sollte es nicht [mm](b-a)f(x_\star)\le\int_a^b f(t)\ dt\le (b-a)f(x^\star)[/mm]
> (also jedes Mal kleiner gleich) heißen?
Ja, hab mich vertippt.
> Ist eine Konstante (z.B. [mm]f(x)=2[/mm]) denn nicht streng monoton??
Nein, schau dir die Definition an...
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 Sa 30.01.2010 | | Autor: | dupline |
Super jetzt ist der Groschen gefallen 
Danke dir!!
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