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Forum "Topologie und Geometrie" - Mittelsenkrechten usw
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Mittelsenkrechten usw: Tipp/Vorangehensweise
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Mi 11.05.2011
Autor: frank85

Aufgabe 1
i)
Bestimme die Parameterdarstellung der Mittelsenkrechten auf der Strecke mit den Endpunkten A=(2,1), B=(-2,3)

Aufgabe 2
ii)
Welchen Abstand hat der Punkt C=(1,2) von der Mittelsenkrechten aus i)

zu i)
Zuerst habe ich die Strecke [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ausgerechnet mit [mm] \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=\pmat{-2\\3}-\pmat{2\\1}=\pmat{-4\\2} [/mm]
davon dann die hälfte sollte mir ja den Richtungsvektor liefern: [mm] \bruch{\pmat{-4\\2}} {2}=\pmat{-2\\1} [/mm]
Jetzt den Ortsvektor bestimmen mit: [mm] \bruch{\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}}{2}=\pmat{0\\2} [/mm]
Also ist die Parameterdarstellung der Mittelsenkrechten:
[mm] \pmat{-2\\1}\lambda\ [/mm] + [mm] \pmat{-2\\1} [/mm]
Stimmt das so? Und geht das auch iwi einfacher oder schneller?

ii)
Abstand zweier Punkte ist ja Betrag des Vektors. Dieser Vektor startet am Punkt C, hat also Ortsvektor [mm] \pmat{1\\2}. [/mm] Der Richtungsvektor sollte doch der gleiche sein wie bei der Geraden [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] da diese ja Senkrecht zur Mittelsenkrechten steht. Also ist der gesuchte Vektor: [mm] \pmat{-4\\2} [/mm] (also [mm] {-2\\1} \lambda [/mm] + [mm] \pmat{1\\2} [/mm]
Abstand ist dann [mm] |\pmat{-2\\1}| [/mm] = [mm] \wurzel{-2^2+1^2}=\wurzel{5} [/mm]
Wieder die Frage ob das so richtig ist, oder schneller zu lösen geht?
Vielen Dank :)

        
Bezug
Mittelsenkrechten usw: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:05 Do 12.05.2011
Autor: kamaleonti

Moin,
> i)
>  Bestimme die Parameterdarstellung der Mittelsenkrechten
> auf der Strecke mit den Endpunkten A=(2,1), B=(-2,3)
>  ii)
>  Welchen Abstand hat der Punkt C=(1,2) von der
> Mittelsenkrechten aus i)
>  zu i)
>  Zuerst habe ich die Strecke [mm]\overrightarrow{AB}[/mm]
> ausgerechnet mit
> [mm]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=\pmat{-2\\3}-\pmat{2\\1}=\pmat{-4\\2}[/mm]
>  davon dann die hälfte sollte mir ja den Richtungsvektor
> liefern: [mm]\bruch{\pmat{-4\\2}} {2}=\pmat{-2\\1}[/mm]

Nein, für die Mittelsenkrechte brauchst du einen Vektor, der senkrecht zum Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] steht. Allgemein gilt (Skalarprodukt ist Null):

              [mm] \pmat{a\\b}\perp\pmat{-b\\a} [/mm]

Also kannst du z.B.  [mm] \pmat{1\\2} [/mm] als Richtungsvektor der Mittelsenkrechten wählen.

>  Jetzt den Ortsvektor bestimmen mit:
> [mm]\bruch{\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}}{2}=\pmat{0\\2}[/mm][ok]
>  Also ist die Parameterdarstellung der Mittelsenkrechten:
>  [mm]\pmat{\red{1}\\\red{2}}\lambda\[/mm] + [mm]\pmat{\red{0}\\\red{2}}[/mm]
>  Stimmt das so? Und geht das auch iwi einfacher oder schneller?

Das ist doch schon ziemlich einfach.

>  
> ii)

Aufgabe ii) solltest du dir nochmal anschauen. Der Abstand von C zur Mittelsenkrechte ist der kürzeste Abstand von C zu einem Punkt auf der Mittelsenkrechte.
Eine Möglichkeit ist daher, den Abstand (=Betrag der Differenz zweier Punkte) von C zu einem beliebigen Punkt der Mittelsenkrechte hinzuschreiben und zu untersuchen, wo dieser am geringsten ist.

>  Abstand zweier Punkte ist ja Betrag des Vektors. Dieser
> Vektor startet am Punkt C, hat also Ortsvektor [mm]\pmat{1\\2}.[/mm]
> Der Richtungsvektor sollte doch der gleiche sein wie bei
> der Geraden [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] da diese ja Senkrecht zur
> Mittelsenkrechten steht. Also ist der gesuchte Vektor:
> [mm]\pmat{-4\\2}[/mm] (also [mm]{-2\\1} \lambda[/mm] + [mm]\pmat{1\\2}[/mm]
>  Abstand ist dann [mm]|\pmat{-2\\1}|[/mm] =
> [mm]\wurzel{-2^2+1^2}=\wurzel{5}[/mm]
>  Wieder die Frage ob das so richtig ist, oder schneller zu
> lösen geht?
>  Vielen Dank :)

LG

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