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Guten Morgen alle miteinander...
ich sitze grad an einer Abituraufgabe und komme nicht weiter!
Es geht um den Kreis k: [mm] x^{2}+y^{2}-8x-6y+21,75 [/mm] = 0.
Dieser Kreis k ist Schnittkreis der x-y-Ebene mit der Kugel K, deren Radius r = 7 ist und deren Mittelpunkt M über der x-y-Ebene liegt!
Ich habe versucht mir das Ganze in einer Skizze aufzumalen, aber irgendwie komme ich da nicht vorwärts. Wenn der Kreis k Schnittkreis der x-y-Ebene der Kugel K ist, sind dann die Komponenten x und y = 0?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Do 03.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Sunflower!
> Es geht um den Kreis k: [mm]x^{2}+y^{2}-8x-6y+21,75 = 0[/mm].
> Dieser Kreis k ist Schnittkreis der x-y-Ebene mit der
> Kugel K, deren Radius r = 7 ist und deren Mittelpunkt M
> über der x-y-Ebene liegt!
>
> Ich habe versucht mir das Ganze in einer Skizze aufzumalen,
> aber irgendwie komme ich da nicht vorwärts. Wenn der Kreis
> k Schnittkreis der x-y-Ebene der Kugel K ist, sind dann die
> Komponenten x und y = 0?
Nein, die Komponente $z = 0$.
Das siehst Du ja auch an der Kreisgleichung, in welcher kein $z$ vorkommt.
Wie ist denn die Aufgabenstellung?
Ermittlung der Kugelgleichung bzw. des Kugelmittelpunktes?
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar!
Die Aufgabe ist: Berechnen sie die Koordinaten des Mittelpunktes der Kugel!
Die Aufgabe gehört noch zu der Aufgabe von gestern. Durch deine Hilfe konnte ich dann die folgendenden Aufgaben lösen, aber hier bin ich hängen geblieben!
Also muss die z-Koordinate wie auch beim Kreis 0 sein?
Welche Werte kann ich eigentlich noch mit verwenden, um den Mittelpunkt herauszubekommen?
Schon ermittelt habe ich die Kreisgleichung und somit M und r des Kreises! Kann ich diese Werte verwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Do 03.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallöchen ...
> Die Aufgabe ist: Berechnen sie die Koordinaten des
> Mittelpunktes der Kugel!
>
> Also muss die z-Koordinate wie auch beim Kreis 0 sein?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, der Kugelmittelpunkt wird eine z-Koordinate [mm] $\not= [/mm] 0$ haben ...
> Welche Werte kann ich eigentlich noch mit verwenden, um den
> Mittelpunkt herauszubekommen?
> Schon ermittelt habe ich die Kreisgleichung und somit M
> und r des Kreises! Kann ich diese Werte verwenden?
Die Strecke Kreismittelpunkt zum Kugelmittelpunkt muß ja senkrecht auf unsere Kreisebene stehen.
Damit gilt:
[mm] $x_{M, Kreis} [/mm] \ = \ [mm] x_{M, Kugel}$
[/mm]
[mm] $y_{M, Kreis} [/mm] \ = \ [mm] y_{M, Kugel}$
[/mm]
Die letzte Komponente [mm] $z_{M, Kugel}$ [/mm] kannst Du folgendermaßen bestimmen:
Rechtwinkliges Dreieck mit $d$, [mm] $R_{Kreis}$ [/mm] und [mm] $R_{Kugel}$.
[/mm]
Dabei ist $d$ der Abstand der beiden Mittelpunkte.
Damit gibt es dann theoretisch zwei Lösungen.
Aber durch den Hinweis "... über der x/y-Ebene ..." aus der Aufgabenstellung sollte dann wohl der postive Wert für [mm] $z_{M, Kugel}$ [/mm] gemeint sein.
Kommst Du nun alleine weiter?
Loddar
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Ich hab mir das jetzt mal skizzenhaft aufgezeichnet. Errechne ich d durch d= [mm] R_{Kugel} [/mm] - [mm] R_{Kreis}? [/mm] Dann wäre d = 1,7! Aber wie gehe ich dann weiter vor? Ist dann z= 1,7 (ich schätze mal so einfach ist das nicht, wie ich mir das gedacht habe)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Do 03.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo mal wieder ...
> Ich hab mir das jetzt mal skizzenhaft aufgezeichnet.
> Errechne ich d durch d= [mm]R_{Kugel}[/mm] - [mm]R_{Kreis}[/mm] ?
$d \ = \ [mm] z_{M,Kugel} [/mm] - [mm] z_{M,Kreis} [/mm] \ = \ [mm] z_{M,Kugel} [/mm] - 0 \ = \ [mm] z_{M,Kugel}$
[/mm]
> Dann wäre d = 1,7! Aber wie gehe ich dann weiter vor?
> Ist dann z= 1,7
> (ich schätze mal so einfach ist das nicht, wie ich mir das
> gedacht habe)?
Was / wie hast Du denn für [mm] $R_{Kreis}$ [/mm] gerechnet ??
Und wie lautet dann Dein Ansatz, um $d$ zu berechnen?
Loddar
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[mm] R_{Kugel}= [/mm] 1/2 d (Durchmesser d=7)
[mm] R_{Kugel}= [/mm] 3,5
[mm] R_{Kreis}= [/mm] 1,8
Um d zu errechnen, kann ich doch aus dem Tafelwerk eine Formel nehmen mit Gegenkathete und Ankathete, oder?
z.B.: sin [mm] \alpha= [/mm] Gegenkathete : Ankathete rechnen - Aber da fehlt mir der Winkel, wenn ich es nach der Gegenkathete, als d, umstelle!
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Der Radius der Kugel ist 7, nicht der Durchmesser!!! :-(
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[mm] c^{2}= a^{2} [/mm] + [mm] b^{2}
[/mm]
[mm] c^{2} [/mm] = 3,25 + 49
[mm] c^{2} [/mm] = 52,25
c [mm] \approx [/mm] 7,228
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Do 03.02.2005 | | Autor: | Loddar |
> [mm]c^{2}= a^{2}[/mm] + [mm]b^{2}
[/mm]
>
> [mm]c^{2}[/mm] = 3,25 + 49
> [mm]c^{2}[/mm] = 52,25
> c [mm]\approx[/mm] 7,228
In dem Dreieck, das mir vorschwebte, ist die Hypotenuse unser Kugelradius [mm] $R_{Kugel}$ [/mm] sowie $d$ und [mm] $R_{Kreis}$ [/mm] die Katheten.
Versuch' Dir das mal aufzuzeichnen ...
Loddar
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[mm] c^{2}=a^{2}+b^{2}
[/mm]
[mm] c^{2}= 7^{2}=49
[/mm]
[mm] a^{2}\approx 1,8^{2}=3,25 [/mm]
[mm] b^{2}= [/mm] d
[mm] b^{2}=c^{2}-a^{2}
[/mm]
[mm] b^{2}=45,75
[/mm]
[mm] d\approx [/mm] 6,76
Stimmt das so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:07 Do 03.02.2005 | | Autor: | Loddar |
> [mm]c^{2}=a^{2}+b^{2}[/mm]
> [mm]c^{2}= 7^{2}=49[/mm]
> [mm]a^{2}\approx 1,8^{2}=3,25[/mm]
> [mm]b^{2}=d^{\red{\ 2}}[/mm]
> [mm]b^{2}=c^{2}-a^{2}[/mm]
> [mm]b^{2}=45,75[/mm]
> [mm]d = \red{\bruch{\wurzel{183}}{2}} \approx 6,76[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das habe ich auch errechnet ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Do 03.02.2005 | | Autor: | Loddar |
> Und wie komme ich jetzt von d zur z-Komponente des
> Mittelpunktes der Kugel, oder ist d=z, was ich nicht
> glaube!??!
Doch - ausnahmsweise ist es mal soooo einfach ...
Begründung:
Die z-Komponente unseres Kreises ist ja [mm] $z_{M, Kreis} [/mm] = 0$ !!
Siehe auch hier ...
Loddar
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Nicht schlecht, also ist M der Kugel (4;3; [mm] \approx [/mm] 6,76)!
Ich dachte, es kommt ne ganze Zahl raus....naja! Dankeschön, ich kann jetzt weiterrechen mit der Aufgabe! Einen schönen Tag noch
Grüße sunflower86
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Genauer: [mm] $R_{Kreis} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{13}}{2} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 1,80$, oder?
