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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:36 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Eine k-Form [mm] \omega [/mm] auf einer offenen Teilmenge U des [mm] \mathbb R^n [/mm] lässt sich in der Form
[mm] \omega = \summe_{1 \le i_1 < ... < i_k \le n } \alpha_{i_1, ..., i_k } dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_k} [/mm]
schreiben.
Schreiben Sie
(i) [mm] d \beta [/mm]
(ii) [mm] f^{ \ast} \beta [/mm]
(iii) [mm] f^{ \ast} d \beta [/mm]
(iv) [mm] d \beta \wedge d \beta [/mm]
in dieser Form.
Hierbei ist
[mm] \beta: \mathbb R^2 \to \mathbb R [/mm] mit [mm] (x_1, x_2) \to \cos(x_1x_2) \\ [/mm] und [mm]
f: \mathbb R^2 \to \mathbb R [/mm] mit [mm] (x_1, x_2) \to e^{2 \pi x_1 } ( \cos x_2, \sin x_2 ) [/mm]. |
Hallo alle zusammen!
Ich beschäftige mich mit dem Thema der Differentialformen und soll nun diese Aufgabe bearbeiten. Ich weiß, dass es wahrscheinlich recht einfach ist und nur rechnen ist, dennoch macht es mir Probleme.
Als erstes : gehe ich hier richtig davon aus, dass es sich hier um eine 2-Form handelt? Ich gehe jetzt einfach davon aus, dass die Abbildungen im [mm] \mathbb R^2 [/mm] starten... Falls das richtig sein sollte, ist das der Weg wie man erkennt um welche k_Form es sich handelt?
Ich habe mich bei der Aufgabe (i) versucht und soweit bin ich gekommen...
Ich gehe von dem folgenden Vorlesungsmaterial aus:
[mm] \beta: U \to \mathbb R^n [/mm] , [mm] U \subset \mathbb R^n [/mm] offen, dann gilt
[mm] d \beta = \summe_{j=1}^n \bruch{ \partial \beta}{ \partial x_j } dx_j [/mm].
Hier ist nun [mm] \beta= \cos(x_1 x_2) [/mm].
Dann ergibt sich
[mm] d [mm] \beta =\bruch{ \partial \beta}{ \partial x_1 } dx_1 [/mm] + [mm] \bruch{ \partial \beta}{ \partial x_2} dx_2 [/mm] = [mm] \\
[/mm]
[mm] x_2 \cdot \cos(x_1 x_2) dx_1 [/mm] + [mm] x_1 \cdot \cos(x_1 x_2) dx_2 [/mm]
Wenn ich das richtig sehe ist jetzt hier mein [mm] \omega [/mm]
[mm] \omega = x_2 \cdot \cos(x_1 x_2) dx_1 + x_1 \cdot \cos(x_1 x_2) dx_2 [/mm]
Dann ist
[mm] d \omega = d( x_2 \cdot \cos(x_1 x_2) dx_1 + x_1 \cdot \cos(x_1 x_2) dx_2 ) = \\
d( x_2 \cdot \cos(x_1 x_2) dx_1 ) + d ( x_1 \cdot \cos(x_1 x_2) dx_2 )
[/mm]
Dann folgt:
[mm] = d ( x_2 \cdot \cos(x_1 x_2) ) \wedge dx_1 + x_2 \cdot \cos(x_1 x_2) \wedge ddx_1 + d (x_1 \cdot \cos(x_1 x_2)) \wedge dx_2 +
x_1 \cdot \cos(x_1 x_2) \wegde ddx_2 =
d ( x_2 \cdot \cos(x_1 x_2) ) \wedge dx_1 + d (x_1 \cdot \cos(x_1 x_2)) \wedge dx_2 [/mm].
Hier komme ich nun leider nicht weiter...
Ich habe diese Aufgabenteil analog zu einem Beispiel gerechnet.. Und nun weiß ich leider nicht weiter...
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand behilflich sien könnte!
Bei den Teilaufgab (ii) habe ich erstmal die folgende Frage:
Wäre der Ansatz hier der richtige:
[mm] f^{ \ast } dx_1 \wedge ... \wedge dx_n = det ( \bruch{\partial f_i}{ \partial x_j} ) dx_1 \wedge ... \wedge dx_n [/mm] ?
Falls das die Determinaten der Jacobi - Martix sein sollte, dann habe ich Probleme die aufzustellen.. Was ist denn dort das f und was [mm] \beta [/mm] ...
Die Schreibweise verwirrt mich ein wenig... Wenn ich die Funktion f betrachte, und die Jacobi-matrix aufstellen soll, dann muss ich ja ein [mm] f_1 [/mm] und ein [mm] f_2 [/mm] haben. Ist dann
[mm] f_1 = e^{2 \pi x_1 } \cos x_2 [/mm] und [mm] f_2 = e^{2 \pi x_1 } \sin x_2 ) [/mm]?
Und falls dies richtig sein sollte und ich dann die Determinaten ausrechne und einsetze, dann versteh ich leider immernoch nicht wo mein [mm] \beta [/mm] ist.
Ich hätte dann bei der Gleichung [mm] f^{ \ast }( dx_1 \wedge ... \wedge dx_n) = det ( \bruch{\partial f_i}{ \partial x_j} ) dx_1 \wedge ... \wedge dx_n [/mm] die Determinante , aber was fange ich mit dem Rest , sprich [mm] dx_1 \wedge ... \wedge dx_n [/mm] , an?
Ich verstehe das ganze leider nicht :-( ...
Zu den Aufgabe (iii) und (iv) habe leider nichts , da ich denke, dass ich dafür den Teil (i) brauche.
Vielen Dank im Voraus!
Viele Grüße
irmchen
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:16 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Obwohl ich immernoch nicht weiß, ob meine Überlegungen richtig sind, habe ich weiter versucht zu rechnen....
Bei der Teilaufgabe (i) bin nicht weiter gekommenm, als oben in meiner Frage :-( ... HOffe, dass mir jemand sagen kann ob das erstmal so richtig ist, und vorallem wie es weiter geht.
Bei der Teilaufgabe (ii) habe ich einfach versucht die Jacobi-Matrix auszurechene, obwohl ich nicht weiß ob dies überhaupt strimmt.
Also ich bediene mich der folgenden Bemerkung aus der Vorlesung:
[mm] f: U \to V [/mm] glatt, und U und V sind offen und [mm] U \subset \mathbb R^n [/mm], [mm] V \subset \mathbb R^m [/mm]. Dann dilt für den Fall [mm] n = m [/mm]
[mm] f^{\ast} dx_1 \wedge ... \wedge dx_n = det ( \bruch{\partial f_i}{ \partial x_j} ) dx_1 \wedge ... \wedge dx_n [/mm].
Hier ist [mm] \beta = \cos(x_1 x_2) [/mm]
Aus der Rechnung ( in der obigen Frage) ergab sich
[mm] \omega = x_2 \cdot \cos (x_1 x_2 ) dx_1 + x_1 \cdot \cos(x_1 x_2 ) dx_2 [/mm].
Dann ergibt sich ( nach meinen Überlegungen)
[mm] f^{ \ast} \beta = det ( ( \bruch{\partial f_i}{ \partial x_j} ) ( x_2 \cdot \cos (x_1 x_2 ) dx_1 + x_1 \cdot \cos(x_1 x_2 ) dx_2 ) =
2 \pi e^{4 \pi x_1 } ( x_2 \cdot \cos (x_1 x_2 ) dx_1 + x_1 \cdot \cos(x_1 x_2 ) dx_2 ) =2 \pi e^{4 \pi x_1 } \cdot x_2 \cdot \cos (x_1 x_2 ) dx_1 +
2 \pi e^{4 \pi x_1 } \cdot x_1 \cdot \cos(x_1x_2 ) dx_2 [/mm].
Kann das denn sein? Ich bin mir total unsicher .... Es schaut sehr merkwürdig aus!
Wäre sehr dankbar für Hilfe!
Viele Grüße Irmchen
[/mm].
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Hi,
ich versuche mal, so gut ich kann zu helfen...
> Eine k-Form [mm]\omega[/mm] auf einer offenen Teilmenge U des
> [mm]\mathbb R^n[/mm] lässt sich in der Form
>
> [mm]\omega = \summe_{1 \le i_1 < ... < i_k \le n } \alpha_{i_1, ..., i_k } dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_k}[/mm]
>
> schreiben.
> Schreiben Sie
>
> (i) [mm]d \beta[/mm]
> (ii) [mm]f^{ \ast} \beta[/mm]
> (iii) [mm]f^{ \ast} d \beta[/mm]
>
> (iv) [mm]d \beta \wedge d \beta[/mm]
>
> in dieser Form.
> Hierbei ist
>
> [mm]\beta: \mathbb R^2 \to \mathbb R[/mm] mit [mm](x_1, x_2) \to \cos(x_1x_2) \\ [/mm]
> und [mm]
f: \mathbb R^2 \to \mathbb R[/mm] mit [mm](x_1, x_2) \to e^{2 \pi x_1 } ( \cos x_2, \sin x_2 ) [/mm].
>
> Hallo alle zusammen!
>
> Ich beschäftige mich mit dem Thema der Differentialformen
> und soll nun diese Aufgabe bearbeiten. Ich weiß, dass es
> wahrscheinlich recht einfach ist und nur rechnen ist,
> dennoch macht es mir Probleme.
nana, ich glaube niemand findet das thema diff.-formen wirklich EINFACH...
>
> Als erstes : gehe ich hier richtig davon aus, dass es sich
> hier um eine 2-Form handelt? Ich gehe jetzt einfach davon
> aus, dass die Abbildungen im [mm]\mathbb R^2[/mm] starten... Falls
> das richtig sein sollte, ist das der Weg wie man erkennt um
> welche k_Form es sich handelt?
>
kleines missverstaendnis: das k in k-form sagt nichts ueber die dimension des raumes aus. 1-formen (pfaffsche formen) gibt es im [mm] $R^n$ [/mm] fuer alle n. es ist eher die dimension der form bzw. der struktur (mannigfaltigkeit), ueber die man integrieren will.
> Ich habe mich bei der Aufgabe (i) versucht und soweit bin
> ich gekommen...
>
> Ich gehe von dem folgenden Vorlesungsmaterial aus:
>
> [mm]\beta: U \to \mathbb R^n[/mm] , [mm]U \subset \mathbb R^n[/mm] offen,
> dann gilt
> [mm]d \beta = \summe_{j=1}^n \bruch{ \partial \beta}{ \partial x_j } dx_j [/mm].
>
> Hier ist nun [mm]\beta= \cos(x_1 x_2) [/mm].
> Dann ergibt sich
>
> [mm]d [mm]\beta =\bruch{ \partial \beta}{ \partial x_1 } dx_1[/mm] + [mm]\bruch{ \partial \beta}{ \partial x_2} dx_2[/mm] = [mm]\\[/mm]
[mm]x_2 \cdot \cos(x_1 x_2) dx_1[/mm] + [mm]x_1 \cdot \cos(x_1 x_2) dx_2[/mm]
Wenn ich das richtig sehe ist jetzt hier mein [mm]\omega[/mm]
[mm]\omega = x_2 \cdot \cos(x_1 x_2) dx_1 + x_1 \cdot \cos(x_1 x_2) dx_2 [/mm]
hast du nicht vergessen, die aeussere ableitung des cos zu bilden?
Dann ist
[mm]d \omega = d( x_2 \cdot \cos(x_1 x_2) dx_1 + x_1 \cdot \cos(x_1 x_2) dx_2 ) = \\
> d( x_2 \cdot \cos(x_1 x_2) dx_1 ) + d ( x_1 \cdot \cos(x_1 x_2) dx_2 )[/mm][/mm]
> [/mm]
Dann folgt:
[mm]= d ( x_2 \cdot \cos(x_1 x_2) ) \wedge dx_1 + x_2 \cdot \cos(x_1 x_2) \wedge ddx_1 + d (x_1 \cdot \cos(x_1 x_2)) \wedge dx_2 +
> [mm][mm] x_1 \cdot \cos(x_1 x_2) \wegde ddx_2 =[/mm][/mm]
> d ( x_2 \cdot \cos(x_1 x_2) ) \wedge dx_1 + d (x_1 \cdot \cos(x_1 x_2)) \wedge dx_2 [/mm].
>Hier komme ich nun leider nicht weiter...
zunaechst mal: wenn du einen term der form
[mm] $\omega=a\,dx_i$
[/mm]
ableiten willst, ist das einfach
[mm] $d\omega=da\wedge dx_i$. [/mm]
den [mm] $d^2x_i$-term [/mm] kannst du einfach vergessen, da [mm] $d^2=0$ [/mm] gilt. das sollte deine rechnung ein wenig vereinfachen. weiter musst du ausnutzen, dass [mm] $dx_i\wedge dx_i=0$ [/mm] und [mm] $dx_i\wedge dx_j=-dx_j\wedge dx_i$, [/mm] da das aeussere produkt antisymmetrisch ist. so bekommst du fuer [mm] $d\omega$ [/mm] eine 2-form heraus. uebrigens steht nicht in der aufgabe, dass du [mm] $d\omega$ [/mm] berechnen sollst, oder??
Fuer den rest der aufgaben: kannst du bitte angeben, wie ihr den *-operator definiert habt? ohne diese info kann ich dir nicht helfen...
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Do 24.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen!
Danke schonmal für die Mühe und die Tipps! Ich habe versucht diese umzusetzen.
Ja, ich habe total die äußere Ableitung verschlammt, sorry!
Ich habe dir Korrektur vorgenommen und insgesamt habe ich jetzt folgendes stehen:
[mm] d \beta = \bruch{ \partial \beta }{ \patiial x_1 } dx_1 + \bruch{ \partial \beta }{ \patiial x_2 } dx_2 [/mm]
[mm] = - x_2 \sin(x_1 x_2 ) dx_1 - x_1 \sin(x_1 x_2 ) dx_2 [/mm]
So, das ist jetzt mein [mm] \omega [/mm].
Also:
[mm] \omega = - x_2 \sin(x_1 x_2 ) dx_1 - x_1 \sin(x_1 x_2 ) dx_2 [/mm]
Dann ist
[mm] d \omega = d ( - x_2 \sin(x_1 x_2 ) dx_1 - x_1 \sin(x_1 x_2 ) dx_2 ) [/mm]
[mm] = d( - x_2 \sin(x_1 x_2 ) dx_1 ) - d ( x_1 \sin(x_1 x_2 ) dx_2 ) [/mm]
[mm] = d( - x_2 \sin(x_1 x_2 ) \wedge dx_1 + - x_2 \sin(x_1 x_2 ) \wedge ddx_1 - d( x_1 \sin(x_1 x_2 ) ) \wedge dx_2 - x_1 \sin(x_1 x_2 ) \wedge ddx_2 [/mm]
[mm] = d( - x_2 \sin(x_1 x_2 ) \wedge dx_1 - d( x_1 \sin(x_1 x_2 ) ) \wedge dx_2 [/mm]
[mm] = - \sin(x_1 x_2 ) dx_1 \wedge dx_2 - \sin(x_1 x_2 ) dx_1 \wedge dx_2 [/mm]
[mm] = -2 \sin(x_1 x_2 ) dx_1 \wedge dx_2 [/mm]
So, ist das jetzt so richtig?
Zu der Anfrage bzgl. dem [mm] f^{\ast} [/mm] :
In der Vorlesung gab es diese folgende Definition der Funktionalität als erstes:
Sei [mm] f: V \to W [/mm] [mm] \mathbb R [/mm] - linear.
^
[mm] f^{\ast}: Alt^k(W) \to Alt^k(V) [/mm] ist [mm] \mathbb R [/mm] - linear.
[mm] \omega \to f^{\ast} \omega [/mm], gegeben durch
[mm] ( f^{\art} \omega) ( v_1, ...,v_k) = \omega ( f(v_1), ... , f(v_k) ) [/mm]
Desweiteren, haben wir noch folgende Bemerkungen gehabt:
1)
[mm] f: M \to N [/mm] glatt, [mm] \omega \in \Omega^k ( N; \mathbb R ) [/mm], [mm] f^{\ast} \omega \in \Omega^k [/mm] ( M; [mm] \mathbb [/mm] R ) [/mm]
"Zurückziehen der Formen "
Dann ist
[mm] (f^{\ast} \omega ) ( v_1, ..., v_k ) = \omega_{f(x) } ( Df_x(v_1), ..., Df_x(v_k) ) [/mm] , mit [mm] [mm] v_1, [/mm] ..., [mm] v_k \in T_x [/mm] M (Tangentialraum von M an x ).
2)
[mm] f: U \to V [/mm] glatt, U, V offene Teilmengen mit [mm] U \subset \mathbb R^n , V \subset \mathbb R^m [/mm].
Dann ist
[mm] f ^{ \ast } dx_i = \summe_{j=1}^n \bruch{ \partial f_i}{ \partial x_j} dx_j [/mm] " Zurückziehen der 1-Form"
3)
Für den Fall: n=m
[mm] f ^{ \ast } dx_1 \wedge ... \wedge dx_n = det ( \bruch{ \partial f_i}{ \partial x_j} ) dx_1 \wedge ... \wedge dx_n [/mm].
So, das sind die Infos die ich habe...
Ich habe aber das Problem, dass wir keine konkreten Beispiele dies bezüglich gerechnet habenm und ich keine Ahnung habe was ich jetzt benutzen soll und wo ich das [mm] \beta [/mm] und wo die Funktione f unterbringen soll...
Viele Grüße
irmchen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Do 24.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Ich habe dir Korrektur vorgenommen und insgesamt habe ich
> jetzt folgendes stehen:
>
> [mm]d \beta = \bruch{ \partial \beta }{ \patiial x_1 } dx_1 + \bruch{ \partial \beta }{ \patiial x_2 } dx_2[/mm]
>
> [mm]= - x_2 \sin(x_1 x_2 ) dx_1 - x_1 \sin(x_1 x_2 ) dx_2[/mm]
>
> So, das ist jetzt mein [mm]\omega [/mm].
> Also:
>
> [mm]\omega = - x_2 \sin(x_1 x_2 ) dx_1 - x_1 \sin(x_1 x_2 ) dx_2[/mm]
Ganz vorneweg: die doppelte äußere Ableitung ist immer 0, es muss also am Schluss [mm]d\omega = d(d\beta) = 0[/mm] herauskommen.
> Dann ist
>
> [mm]d \omega = d ( - x_2 \sin(x_1 x_2 ) dx_1 - x_1 \sin(x_1 x_2 ) dx_2 )[/mm]
>
> [mm]= d( - x_2 \sin(x_1 x_2 ) dx_1 ) - d ( x_1 \sin(x_1 x_2 ) dx_2 )[/mm]
>
> [mm]= d( - x_2 \sin(x_1 x_2 ) \wedge dx_1 + - x_2 \sin(x_1 x_2 ) \wedge ddx_1 - d( x_1 \sin(x_1 x_2 ) ) \wedge dx_2 - x_1 \sin(x_1 x_2 ) \wedge ddx_2[/mm]
>
> [mm]= d( - x_2 \sin(x_1 x_2 ) \wedge dx_1 - d( x_1 \sin(x_1 x_2 ) ) \wedge dx_2[/mm]
Bis hierhin ist's in Ordnung.
> [mm]= - \sin(x_1 x_2 ) dx_1 \wedge dx_2 - \sin(x_1 x_2 ) dx_1 \wedge dx_2 [/mm]
Hier musst du die Produktregel und Kettenregel anwenden, wie bei der Berechnung von [mm]d\beta[/mm]
[mm] d(- x_2 \sin(x_1 x_2 )) = - dx_2 * \sin(x_1 x_2 ) + (-x_2) * d(\sin(x_1 x_2 )) = - dx_2 * \sin(x_1 x_2 ) -x_2 * \cos(x_1 x_2 ) * (x_2 dx_1 + x_1 dx_2) [/mm]
Also ist
[mm] d( - x_2 \sin(x_1 x_2 ) \wedge dx_1 = - (dx_2\wedge dx_1) * \sin(x_1 x_2 ) - x_2 \cos(x_1 x_2 ) x_1 dx_2 \wedge dx_1 = \red{+} \sin(x_1 x_2 dx_1 \wedge dx_2 + x_1x_2 \cos(x_1 x_2 ) dx_1 \wedge dx_2 [/mm]
Der zweite Term [mm] - d( x_1 \sin(x_1 x_2 ) ) \wedge dx_2[/mm] geht analog und hebt sich gegen den ersten vollständig weg.
> Zu der Anfrage bzgl. dem [mm]f^{\ast}[/mm] :
>
>
> In der Vorlesung gab es diese folgende Definition der
> Funktionalität als erstes:
>
> Sei [mm]f: V \to W[/mm] [mm]\mathbb R[/mm] - linear.
> ^
> [mm]f^{\ast}: Alt^k(W) \to Alt^k(V)[/mm] ist [mm]\mathbb R[/mm] - linear.
> [mm]\omega \to f^{\ast} \omega [/mm], gegeben durch
> [mm]( f^{\art} \omega) ( v_1, ...,v_k) = \omega ( f(v_1), ... , f(v_k) )[/mm]
>
>
> Desweiteren, haben wir noch folgende Bemerkungen gehabt:
>
> 1)
> [mm]f: M \to N[/mm] glatt, [mm]\omega \in \Omega^k ( N; \mathbb R ) [/mm],
> [mm]f^{\ast} \omega \in \Omega^k[/mm] ( M; [mm]\mathbb[/mm] R )[/mm]
> "Zurückziehen der Formen "
> Dann ist
> [mm](f^{\ast} \omega ) ( v_1, ..., v_k ) = \omega_{f(x) } ( Df_x(v_1), ..., Df_x(v_k) )[/mm]
> , mit [mm][mm]v_1,[/mm] ..., [mm]v_k \in T_x[/mm] M (Tangentialraum von M an x ).
>
> 2)
> [mm]f: U \to V[/mm] glatt, U, V offene Teilmengen mit [mm]U \subset \mathbb R^n , V \subset \mathbb R^m [/mm].
> Dann ist
> [mm]f ^{ \ast } dx_i = \summe_{j=1}^n \bruch{ \partial f_i}{ \partial x_j} dx_j[/mm] " Zurückziehen der 1-Form"
>
> 3)
> Für den Fall: n=m
> [mm]f ^{ \ast } dx_1 \wedge ... \wedge dx_n = det ( \bruch{ \partial f_i}{ \partial x_j} ) dx_1 \wedge ... \wedge dx_n [/mm].
>
> So, das sind die Infos die ich habe...
> Ich habe aber das Problem, dass wir keine konkreten Beispiele dies bezüglich gerechnet habenm und ich keine Ahnung habe was ich jetzt benutzen soll und wo ich das [mm]\beta[/mm] und wo die Funktione f unterbringen soll...
Dazu ein paar Tipps:
(ii) [mm]\beta [/mm] ist eine Funktion, also eine 0-Form. Wie sieht denn das "Zurückziehen" im Fall k=0 aus.
(iii) Dein [mm]d\beta[/mm] ist eine 1-Form, da kannst du die Linearität der Form und die Beziehung für [mm]f ^{ \ast } dx_i [/mm] benutzen.
(iv) Das Keilprodukt ist antisymmetrisch!
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Do 24.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Zu (ii):.
Wenn [mm] \beta [/mm] eine Funktion ist, also eine 0 - Form, dann sieht doch das zurückziehen so aus:
Ist [mm] f: M \to N [/mm] glatte Abbildung. Setze für [mm] \alpha \in C^{ \infty } ( N, \mathbb R ) [/mm]
[mm] f^{\ast} \alpha = \alpha \circ f [/mm].
Also, hier in der Aufgabe ist dann
[mm] \alpha = \beta = \cos(x_1 x_2 ) [/mm] und
[mm] f= e^{ 2 \pi x_1} ( \cos x_2, \sin x_2 ) [/mm]
Also muss ich erst [mm] f [/mm] und dann [mm] \beta [/mm] anwenden ,aber auf was?
Zu den anderen Teilaufgaben verstehe ich nicht ganz, wo der Sinn besteht, denn wenn bei (i) für [mm] d \beta = 0 [/mm] herauskommt, dann macht das andere doch keinen Sinn oder? Ich benutze doch immer das [mm] d \beta [/mm] ...
Viele Grüße
Irmchen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Do 24.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Guten Abend!
>
> Zu (ii):.
>
> Wenn [mm]\beta[/mm] eine Funktion ist, also eine 0 - Form, dann
> sieht doch das zurückziehen so aus:
>
> Ist [mm]f: M \to N[/mm] glatte Abbildung. Setze für [mm]\alpha \in C^{ \infty } ( N, \mathbb R )[/mm]
>
> [mm]f^{\ast} \alpha = \alpha \circ f [/mm].
>
> Also, hier in der Aufgabe ist dann
> [mm]\alpha = \beta = \cos(x_1 x_2 )[/mm] und
> [mm]f= e^{ 2 \pi x_1} ( \cos x_2, \sin x_2 )[/mm]
>
> Also muss ich erst [mm]f[/mm] und dann [mm]\beta[/mm] anwenden ,aber auf
> was?
Einfach einsetzen:
[mm]f= (f_1,f_2) = (e^{ 2 \pi x_1}\cos x_2,e^{ 2 \pi x_1}\sin x_2 )[/mm]
und
[mm] \beta\circ f = \cos(f_1(x_1,x_2)*f_2(x_1, x_2 )) [/mm].
(EDIT: gerade gesehen, dass ich mich vertippt habe)
> Zu den anderen Teilaufgaben verstehe ich nicht ganz, wo der
> Sinn besteht, denn wenn bei (i) für [mm]d \beta = 0[/mm]
> herauskommt, dann macht das andere doch keinen Sinn oder?
> Ich benutze doch immer das [mm]d \beta[/mm] ...
Missverständnis: [mm]d\beta[/mm] ist nicht 0. Du hast aber [mm]\omega=d\beta[/mm] gesetzt und dann [mm]d\omega = d^2\beta=0[/mm] ausgerechnet.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Do 24.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Also, dann ist
[mm] \beta \circ f = \cos ( e^{2 \pi x_1 } \cos x_2, e^{2 \pi x_1 \sin x_2 ) [/mm]
Und damit bin ich fertig?
Zu (i)
Also, wenn ich das jetzt richtig sehe, dann bin ich doch bei der Teilaufgabe schon fertig, wenn ich mein [mm] \omega [/mm] hab, oder?
Also ist dann
[mm] d \beta = - x_2 \sin(x_1 x_2 ) dx_1 - x_1 \sin(x_1 x_2 ) dx_2 [/mm]
Lieg ich jetzt komplett daneben, oder ist das schon das Ergebnis von (i) ?
Viele Grüße
Irmchen
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