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| Aufgabe | [mm] Sei$\mathcal{R}\subset\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] ein Ring für die Menge [mm] $\Omega$. [/mm] Setze
$$
[mm] V:=V(\mathcal{R}):=\left\{\sum_{i=1}^n\alpha_i1_{A_i}: \alpha_i\in\mathbb{R}, A_i\in\mathcal{R}, n\in\mathbb{N}\right\}
[/mm]
$$
Zeige, dass für $f,g$ in $V$, [mm] $f\wedge [/mm] g$ und [mm] $f\vee [/mm] g$ in $V$ sind, wobei
$$
[mm] f\wedge [/mm] g: [mm] \omega\mapsto\min\left\{f(\omega),g(\omega)\right\},~~~f\vee g:\omega\mapsto\max\left\{f(\omega),g(\omega)\right\}.
[/mm]
$$
Außerdem zeigen, dass
$$
[mm] f\in V\implies f\wedge 1_{\Omega}\in [/mm] V.
$$ |
Hi,
ich bin mal angefangen mit dem einfachsten Fall [mm] $f=\alpha_1 1_{A_1}$ [/mm] und [mm] $g=\beta_1 1_{B_1}$. [/mm] In diesem Fall sollte man bekommen, dass
$$
[mm] f\wedge g=\min\left\{\alpha_1,\beta_1\right\}1_{A_1\cap B_1}+\min\left\{\alpha_1,0\right\}1_{A_1\setminus B_1}+\min\left\{\beta_1,0\right\}1_{B_1\setminus A_1},
[/mm]
$$
$$
[mm] f\vee g=\max\left\{\alpha_1,\beta_1\right\}1_{A_1\cap B_1}+\max\left\{\alpha_1,0\right\}1_{A_1\setminus B_1}+\max\left\{\beta_1,0\right\}1_{B_1\setminus A_1},
[/mm]
$$
$$
[mm] f\wedge 1_{\Omega}=\min\left\{\alpha_1,1\right\}1_{A_i}.
[/mm]
$$
und alle drei Funktionen sind in $V$.
Mir fällt auf, dass man hier [mm] $A_1\cup B_1$ [/mm] disjunkt zerlegt hat und das muss man vllt. auch im allgemeinen Fall machen (s.u.).
Jetzt weiß ich nicht, wie ich das aber allgemein zeigen kann für [mm] $V\ni f=\sum_{i=1}^n \alpha_i 1_{A_i}$ [/mm] und [mm] $V\ni g=\sum_{i=1}^m\beta_i 1_{B_i}$ [/mm] und oBdA [mm] $n\leq [/mm] m$.
Ich glaube, der Trick ist wieder, dass man [mm] $A\cup [/mm] B$ irgendwie disjunkt machen muss, wobei [mm] $A:=\bigcup_{i=1}^n A_i, B:=\bigcup_{i=1}^m B_i$.
[/mm]
Eine mögliche Idee wäre
$$
[mm] A\cup B=\biguplus [/mm] [ [mm] (A_i\cup B_i)\setminus\bigcup_{j=1}^{i-1}(A_j\cup B_j)]
[/mm]
$$
wobei [mm] $\uplus$ [/mm] "disjunkt" bedeuten soll.
Für die Indikatorfunktion von [mm] $A\cup [/mm] B$, erhalte ich damit
$$
[mm] 1_{A\cup B}=\sum_{i=1}^n 1_{A_i\cup B_i}-1_{\cup_{j=1}^{i-1}(A_i\cup B_i)\cap (A_j\cup B_j)}.
[/mm]
$$
Das sieht ja an sich schon ganz gut aus, aber die Koeffizienten fehlen noch und da komm ich nicht klar.
Ich kann mir vorstellen, dass man für den ersten Summanden vielleicht als Koeffizienten [mm] $\min\left\{\alpha_i,\beta_i\right\}$ [/mm] bzw. [mm] $\max\left\{\alpha_i,\beta_i\right\}$ [/mm] nehmen muss.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 21.04.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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