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Forum "Differenzialrechnung" - Minimierung Zylinder
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Minimierung Zylinder: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 Do 18.12.2008
Autor: berger741

Aufgabe
Geben ist eine Dose (Zylinderform) mit dem Volumen V = 30 [mm] cm^3, [/mm] gesucht ist die höhe und der Durchmesser bei minimaler Oberfläche.

Guten Tag,

ich habe zuerst die HB und NB aufgestellt:

HB: A = 2 * [mm] \pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm] + 2 * [mm] \pi [/mm] * r * h
NB: V = [mm] r^2 [/mm] * [mm] \pi [/mm] * h

V nach h umgestellt

h = [mm] (\bruch{40 cm^3}{r^2 * \pi}) [/mm]

h in die A einsetzen

A = 2 * [mm] \pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm] + 2 * r * [mm] (\bruch{40cm^3}{r^2 * \pi}) [/mm]
A(r) = 6,28 [mm] r^2 [/mm] + [mm] \bruch{80 cm^3}{r} [/mm] * [mm] \pi [/mm]

Nun habe ich r im Nenner stehen, habe es vor kurzem in der Schule gesehen, dass ich nach oben holen kann und dafür der Exponent -1 wird.

A(r) = 6,28 [mm] r^2 [/mm] + ( (80 [mm] cm^3)^{-1}) \pi [/mm]

Ist es soweit richtig?

Nun muss ich die Ableitungen bilden:

A'(r) = 12,56 r + (-80)^(-2) (Die Klammer mit -2 bedeutet hoch -2
A''(r) = 12,56 + 160^(-3)

Nun muss ich A(r) = 0 setzen.

0 = 12,56 r  -80^(-2)
r = - 1,244 * 10^(-5) (Wie kann ich sowas eigentlich umschreiben, damit es "normal" aussieht?)

Nun muss ich das Ergebnis in K''(r) setzen.

A''(-1,244 * 10^(-5)) = Nicht möglich. Muss ich hier jetzt schon aufhören?

Kann mir hier jemand bei helfen? Wäre wirklich super.


Ich danke euch.


freundliche Grüße
        
Bezug
Minimierung Zylinder: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Do 18.12.2008
Autor: Loddar

Hallo berger!


> HB: A = 2 * [mm]\pi[/mm] * [mm]r^2[/mm] + 2 * [mm]\pi[/mm] * r * h
> NB: V = [mm]r^2[/mm] * [mm]\pi[/mm] * h

[ok]

  
> V nach h umgestellt
>  
> h = [mm](\bruch{40 cm^3}{r^2 * \pi})[/mm]

Prinzipiell richtig. Aber welcher Wert für das Volumen stimmt denn nun? 30 cm³ oder 40 cm³?

  
> h in die A einsetzen
>  
> A = 2 * [mm]\pi[/mm] * [mm]r^2[/mm] + 2 * r *[mm](\bruch{40cm^3}{r^2 * \pi})[/mm]
>  
> A(r) = 6,28 [mm]r^2[/mm] + [mm]\bruch{80 cm^3}{r}[/mm] *[mm]\pi[/mm]

Lass vorne lieber auch genauer [mm] $2*\pi$ [/mm] stehen!


> Nun habe ich r im Nenner stehen, habe es vor kurzem in der
> Schule gesehen, dass ich nach oben holen kann und dafür der
> Exponent -1 wird.
>  
> A(r) = 6,28 [mm]r^2[/mm] + ( (80 [mm]cm^3)^{-1}) \pi[/mm]

[notok] Das muss heißen:
$$A(r) \ = \ [mm] 2\pi*r^2+\bruch{80}{\pi}*r^{-1}$$ [/mm]

Damit stimmen die nachfolgenden Ableitungen und Rechnungen auch nicht ...


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Minimierung Zylinder: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Do 18.12.2008
Autor: berger741

Ok, danke. Es muss richtig 30 sein, ist aber egal, so kann ich es nachher noch einmal mit 30 neu rechnen und habe so die Übung.

Ich habe die Funktion nun so wie du sie geschrieben hast übernommen und abgeleitet:

A'(r) = 12,56r - 25,5r^-2
A''(r) = 12,56 - 51r-3

Nun habe ich 1. Ableitung 0 gesetzt.

Nun frage ich mich, wie das funktionieren soll. Der Exponent ist einmal -2, wie funktioniert denn das nun? Geht das auch einfach mit der P-Q-Formel?

Vielen Dank.
Bezug
                        
Bezug
Minimierung Zylinder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Do 18.12.2008
Autor: kuemmelsche

Hallo berger741,

Als erstes: Lass lieber [mm] \pi [/mm] stehen, als den gerundeten Dezimalbruch. [mm] \pi [/mm] ist einfach genauer und genauso richtig wie der ausgerechnete Wert!

Meine Ableitungen heißen:

[mm] A'(x)=4\pi r-\bruch{80}{\pi}r^{-2} [/mm]
[mm] A''(x)=4\pi -\bruch{-160}{\pi}r^{-3} [/mm]

[mm] A'(x)=0=4\pi r-\bruch{80}{\pi}r^{-2}\gdw \bruch{80}{\pi *r^{2}}=r*4\pi \gdw \bruch{20}{\pi^{2}}=r^{3} [/mm]

So kommst du auf die Extrema.

lg Kai
Bezug
                
Bezug
Minimierung Zylinder: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:18 Do 18.12.2008
Autor: berger741

Vielen Dank für eure Hilfe, hat mir wirklich sehr geholfen!


fg
Bezug
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