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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:14 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend !
Ich habe ziemliche Schwierigkeiten beim Minimieren mit Nebenbedingungen. In unserer Vorlesung wurden separat Minimierung mit Gleichungssrestriktionen, Minimierung mit Ungleichungsrestriktionen , Minimierung mit Gleiungs - und Ungleiungsrestriktionen und zum Schluss der konvexe Fall betrachtet... Ich bin jetzt etwas durcheinander, wenn es um MFCQ geht..
1.GLEICHUNGSRESTRIKTIONEN:
Hierbei habe ich eine differenzierbare Funkktion [mm] f: \mathbb R^n \to \mathbb R [/mm] und stetig differenzierbare Funktionen [mm] h_i: \mathbb R^n \to \mathbb R [/mm] und man betrachtet [mm] C:= \{ X \ | \ h_i (x) = 0 \} [/mm]
Wenn [mm] \overline{x} [/mm] ein lokales Minimum ist von f auf der Menge C und
[mm] \nabla h_(\overline{x}) , ... , \nabla_m ( \overlien{x} ) [/mm] linear unabhängig sind, so ex [mm] \lambda [/mm] mit:
[mm] (+) \ \nabla f ( \overline{x}) + \summe_{i=1}^{m} \lambda_i \nabla h_i ( \overline{x} ) = 0 [/mm].
Fragen:
1. Wird (+) die Fritz - John - Bedingung genannt?
2. Ist die Voraussetzung der linearen Unabhängigkeit der [mm] \nabla h_i [/mm] hier die LICQ - Bedingung? Was ist denn MFCQ oder gibt es bei diesem Fall keine?
3. Was ist denn hier genau die notwendige und was die hinrechende Bedingung für ein lokales Minimum?
4. Wenn f konvex und differenzierbar und die [mm] h_i [/mm] affin sind, dann ist die Regularitätsbedingung ja nicht mehr notwendig.
Warum ???
2.UNGLEICHUNGSRESTRIKTIONEN:
Hier ist f differenzierbar, [mm] g_j [/mm] differenzierbar.
Wenn [mm] \overline{x} [/mm] ein lokales Minimum von f auf
[mm]C:= \{ x \| \ g_j (x) \le 0 \} [/mm] ist, so gibt es [mm] \mu_0, ... , \mu_p \ge 0 [/mm] und
a) [mm] \mu_0 \nabla f [ \overlien{x} ) + \summe_{j=1}^{p} \mu_j \nabla g_j ( \overline{x }) = 0 [/mm]
b) [mm] \mu_j \cdot g_j ( \overline{x}) = 0 [/mm] "Komplementarität"
Falls [/mm] MFCQ : [mm] \{ \exists \overline{d} \in \mathbb R^n : \nabla g_j ( \overline{x}) \overline{d} < 0 \ fuer \ alle \ j \in J( \overline{x} ) \} [/mm] = [mm] \{ j \ | \ g_j ( \overline{x} ) = 0 \} [/mm] [/mm] gilt, so kann man [mm] \mu_0 = 1 [/mm]
setzen d.h
a' ) [mm] \nabla f [ \overlien{x} ) + \summe_{j=1}^{p} \mu_j \nabla g_j ( \overline{x }) = 0 [/mm]
Fragen:
5. Bezeichnet man a ') als KKT ?
6. Wofür braucht man die Kompelmentarität?
7. Ist das richtig , dass aus LICQ ( lineare Unabhängigkeit der [mm] \nabla g_j ( \overline{x} ) , j \in J( \overline{x}) [/mm] ) die MFCQ folgt?
Wenn ja, kann man sich das irgendwie graphisch vorstellen?
8. In der Vorlesung steht die folgende Aussage, die mich etwas
durcheinander bringt:
[mm] MFCQ \Leftrightarrow \{ \ \{ \mu_j \ge 0 , \ \summe_{j \in J( \overline{x}} \mu_j \nabla g_j ( \oveline{x}) = 0 \} \Rightarrow \mu_j = 0 \} [/mm].
Was bedeutet das?
Ich weiß das sind ne Menge Fragen, aber irgendwie habe ich noch gar nicht den Durchblick gefunden. Mir fehlt auch total die Vorstellungskraft, wie ich mir das graphisch vorstellen kann.
Ich weiß , dass ich die Zielfunktion minimiere unter gewissen Bedingungen, aber z.B was passsiert denn auf der " graphischen" Ebene, wenn ich diese Fritz - John - Bedingung betrachte mit den ganzen Gradienten, oder genauso mit LICQ oder MFCQ ... :-(... Wird damit irgendwie die Richtung bestimmt???
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann die Zusammenhänge besser zu verstehen!
Ganz herzlichen Dank im voraus!
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 So 08.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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