www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Abbildungen" - Minimalpolynom einer lin. Abb.
Minimalpolynom einer lin. Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Minimalpolynom einer lin. Abb.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:35 So 11.04.2010
Autor: steppenhahn

Aufgabe
V endlich-dim. K-VR, f Endomorphismus von V. Zeige:
[mm] $f^{2} [/mm] = f [mm] \gdw \chi_{f}^{min}(t)|t*(t-1)$ [/mm] (Das Minimalpolynom von f ist Teiler vom Polynom $t*(t-1)$.

Hallo!

Ich habe hier eine Aufgabe, die mir seltsam einfach erscheint. Deswegen frage ich euch, ob in meiner Argumentation ein Lücke ist:

[mm] $f^{2} [/mm] = f [mm] \gdw f^{2}-f [/mm] = 0 [mm] \gdw f\circ (f-id_{V}) [/mm] = 0 [mm] \gdw \chi_{f}^{min}(t)|t*(t-1)$. [/mm]

War das schon alles?
Die Äquivalenz des letzten Schrittes würde ich so begründen:

"-->": Man kann sehen, dass $\ p(t) = t*(t-1)$ ein Polynom ist, das die Eigenschaft $p(f) = 0$ erfüllt. Wir haben in der Vorlesung gehabt ($K[ t ]$ Polynomraum):

[mm] $\Big\{p\in K[ t ]\Big|p(f) = 0\Big\} [/mm] = [mm] \Big\{\chi_{f}^{min}*p\Big|p\in K[ t ]\Big\}$ [/mm] (*)

Das bedeutet im Klartext für mich: Wenn ich ein Polynom finde, dass die Eigenschaft $p(f) = 0$ erfüllt, muss es ein Vielfaches vom Minimalfpolynom von f sein. Mit anderen Worten: Das Minimalpolynom ist Teiler von diesem p.

"<--": Umgekehrt, wenn das Minimalpolynom Teiler von $p(t) = t*(t-1) [mm] \ $ [/mm] ist, ist $p(t)$ Vielfaches vom Minimalpolynom und damit gilt wegen (*) die Gleichung $p(f) = 0$.

Stimmt das so?

Grüße,
Stefan

        
Bezug
Minimalpolynom einer lin. Abb.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:53 Mo 12.04.2010
Autor: angela.h.b.


> V endlich-dim. K-VR, f Endomorphismus von V. Zeige:
>  [mm]f^{2} = f \gdw \chi_{f}^{min}(t)|t*(t-1)[/mm] (Das
> Minimalpolynom von f ist Teiler vom Polynom [mm]t*(t-1)[/mm].
>  Hallo!
>  
> Ich habe hier eine Aufgabe, die mir seltsam einfach
> erscheint. Deswegen frage ich euch, ob in meiner
> Argumentation ein Lücke ist:
>  
> [mm]f^{2} = f \gdw f^{2}-f = 0 \gdw f\circ (f-id_{V}) = 0 \gdw \chi_{f}^{min}(t)|t*(t-1)[/mm].
>  
> War das schon alles?
>  Die Äquivalenz des letzten Schrittes würde ich so
> begründen:
>  
> "-->": Man kann sehen, dass [mm]\ p(t) = t*(t-1)[/mm] ein Polynom
> ist, das die Eigenschaft [mm]p(f) = 0[/mm] erfüllt. Wir haben in
> der Vorlesung gehabt ([mm]K[ t ][/mm] Polynomraum):
>  
> [mm]\Big\{p\in K[ t ]\Big|p(f) = 0\Big\} = \Big\{\chi_{f}^{min}*p\Big|p\in K[ t ]\Big\}[/mm]
> (*)
>  
> Das bedeutet im Klartext für mich: Wenn ich ein Polynom
> finde, dass die Eigenschaft [mm]p(f) = 0[/mm] erfüllt, muss es ein
> Vielfaches vom Minimalfpolynom von f sein. Mit anderen
> Worten: Das Minimalpolynom ist Teiler von diesem p.

Hallo,

bis hierher stimmt's.

>  
> "<--": Umgekehrt, wenn das Minimalpolynom Teiler von [mm]p(t) = t*(t-1) \ [/mm]
> ist, ist [mm]p(t)[/mm] Vielfaches vom Minimalpolynom und damit gilt
> wegen (*) die Gleichung [mm]p(f) = 0[/mm].
>  
> Stimmt das so?

Ja. Bloß nun mußt Du noch vermitteln, warum [mm] f=f^2 [/mm] gilt.

Gruß v. Angela

> Grüße,
>  Stefan


Bezug
                
Bezug
Minimalpolynom einer lin. Abb.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Mo 12.04.2010
Autor: steppenhahn

Hallo Angela,

danke für deine Antwort!


> > [mm]f^{2} = f \gdw f^{2}-f = 0 \gdw f\circ (f-id_{V}) = 0 \gdw \chi_{f}^{min}(t)|t*(t-1)[/mm].


> > "<--": Umgekehrt, wenn das Minimalpolynom Teiler von [mm]p(t) = t*(t-1) \ [/mm]
> > ist, ist [mm]p(t)[/mm] Vielfaches vom Minimalpolynom und damit gilt
> > wegen (*) die Gleichung [mm]p(f) = 0[/mm].
>  >  
> > Stimmt das so?
>  
> Ja. Bloß nun mußt Du noch vermitteln, warum [mm]f=f^2[/mm] gilt.


Kann ich dazu einfach die obige Äquivalenz wieder benutzten?


Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan

Bezug
                        
Bezug
Minimalpolynom einer lin. Abb.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:36 Mo 12.04.2010
Autor: angela.h.b.


> > > [mm]f^{2} = f \gdw f^{2}-f = 0 \gdw f\circ (f-id_{V}) = 0 \gdw \chi_{f}^{min}(t)|t*(t-1)[/mm].
>  
>
> > > "<--": Umgekehrt, wenn das Minimalpolynom Teiler von [mm]p(t) = t*(t-1) \ [/mm]
> > > ist, ist [mm]p(t)[/mm] Vielfaches vom Minimalpolynom und damit gilt
> > > wegen (*) die Gleichung [mm]p(f) = 0[/mm].
>  >  >  
> > > Stimmt das so?
>  >  
> > Ja. Bloß nun mußt Du noch vermitteln, warum [mm]f=f^2[/mm] gilt.
>  
>
> Kann ich dazu einfach die obige Äquivalenz wieder
> benutzten?

Hallo,

Du meinst diese: [mm] f^{2} [/mm] = f [mm] \gdw f\circ (f-id_{V}) [/mm] = 0 ? Ja, das sollte gehen.

Mir ist aber etwas anderes eingefallen, was ich vorher nicht beachtet habe, was aber natürlich ebenfalls  für die andere Richtung relevant ist - und eigentlich auch  kein Problem ist:

man muß ja erstmal von [mm] f\circ (f-id_{V}) [/mm] = 0 zu p(f)=0 für p(t)=t*(t-1) kommen.
Aber dieses Einsetzen habt Ihr sicher irgendwo behandelt.

Gruß v. Angela











Bezug
                                
Bezug
Minimalpolynom einer lin. Abb.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 Mo 12.04.2010
Autor: steppenhahn

Hallo Angela,

danke für deine Antwort!
Das mit dem Einsetzen hatten wir.

Grüße,
Stefan

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]