Minimalpolynom bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Do 10.02.2005 | | Autor: | daria |
hej, ich soll das minimalpolynom bestimmen zu folgenden phi's (um zu schauen ob der R[x]-Modul zyklisch ist)
0 1 0
1 0 0
0 0 1
hierzu hat mein prof gesagt, dass es eine spiegelung ist und deshalb x²-1 ist.. aber wie kann ich das bestimmen ohne zu wissen, dass es eine spiegelung ist?!
dasselbe gilt für diese (Jordan) Matrix:
0 1 0
0 0 1
0 0 0
hierzu ist das minimalpolynom x³... wie kann ich das "einfach" bestimmen..
danke an alle, die sich die mühe machen zu lesen und zu antworten =)
gruß daria
hier der erstpostersatz:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:10 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> hej, ich soll das minimalpolynom bestimmen zu folgenden
> phi's (um zu schauen ob der R[x]-Modul zyklisch ist)
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> 0 1 0
> 1 0 0
> 0 0 1
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> hierzu hat mein prof gesagt, dass es eine spiegelung ist
> und deshalb x²-1 ist.. aber wie kann ich das bestimmen ohne
> zu wissen, dass es eine spiegelung ist?!
Was soll hier x²-1 sein? Das Minimalpolynom? Dann müssten 1 und -1 Eigenwerte von der Matrix sein, denn das Minimalpolynom teil das charakteristische Polynom, dass dann zumindest einen x²-1 Teil haben müsste.
Und $x²-1 = (x-1) ( x+1)$ (3. binomische Formel).
Vielleicht überprüfst du mal die Eigenwerte... die brauchst du eh zu Bestimmung des Minimalpolynoms...
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> dasselbe gilt für diese (Jordan) Matrix:
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> 0 1 0
> 0 0 1
> 0 0 0
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> hierzu ist das minimalpolynom x³... wie kann ich das
> "einfach" bestimmen..
> danke an alle, die sich die mühe machen zu lesen und zu
> antworten =)
Wenn die Matrix in Jordan-Normalform ist, ist es einfach, das Minimalpolynom abzulesen. Du siehst ja, dass hier im letzten Beispiel der Eigenwert 0 dreifach vorkommt. Ausserdem besteht der Hauptraum zu diesem Eigenwert nur aus einem Eigenraum. Der größte Eigenraum ist damit 3 lang und damit ist das Minimalpolynom.
$(x - 0 [mm] )^3 [/mm] = [mm] x^3$
[/mm]
Für das erste Beispiel würd ich mal versuchen, ob es diagonalisierbar ist, bin aber nicht sicher...
Gruß Micha 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:38 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Hexe |
Also das Min Pol bekommst du über das Char Polynom (wie schon erwähnt) bei der oberen Matrix also [mm] \vmat{-\lambda&1&0\\1&-\lambda&0\\0&0&1-\lambda} [/mm] = [mm] \lambda^2(1-\lambda)-1(1-\lambda)=(\lambda^2-1)(1-\lambda)=0
[/mm]
So jetzt muss nur noch die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes -1 bestimmt werden, da wird dann wohl 1 rauskommen und damit erhält man das Minimalpolynom [mm] \lambda^2-1 [/mm] Ansonsten erkennt man die Spiegelmatrix daran, das in jeder Zeile bzw Spalte genau eine 1 steht
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