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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Minimalpolynom Zerlegung
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Minimalpolynom Zerlegung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:21 Mi 04.05.2011
Autor: pyw

Aufgabe
Beweise: Falls das Minimalpolynom [mm] m_T [/mm] von T eine Zerlegung [mm] m_T [/mm] = g · h mit
ggT(g, h) = 1 besitzt, dann gelten die folgenden Aussagen:
1. V = ker g(T ) [mm] \oplus [/mm] ker h(T ) =: U1 [mm] \oplus [/mm] U2

Man findet die Aufgabenstellung auch unter folgendem []Link, Aufgabe 3.

Hallo,

ich habe leider wenig Ideen.

Aus ggT(g,h)=1 folgt ja, dass es Polynome r und s gibt mit rg+sh=1

Vielleicht hilft es, wenn ich die Gleichung mit h multipliziere:
[mm] rgh+sh^2=h \Rightarrow s(T)h(T)^2=h(T), [/mm] denn [mm] h(T)g(T)=m_T(T)=0 [/mm]

Weiterhin [mm] s(T)h(T)^2=h(T) \gdw [/mm] s(T)h(T)(h(T)-1)=0.
Aber wahrscheinlich ist das nicht sehr hilfreich.

Bitte um Hilfe + einen Denkanstoß.

Danke!



mfg, pyw

        
Bezug
Minimalpolynom Zerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:11 Do 05.05.2011
Autor: fred97


> Beweise: Falls das Minimalpolynom [mm]m_T[/mm] von T eine Zerlegung
> [mm]m_T[/mm] = g · h mit
>  ggT(g, h) = 1 besitzt, dann gelten die folgenden
> Aussagen:
>  1. V = ker g(T ) [mm]\oplus[/mm] ker h(T ) =: U1 [mm]\oplus[/mm] U2
>  
> Man findet die Aufgabenstellung auch unter folgendem
> []Link,
> Aufgabe 3.
>  Hallo,
>  
> ich habe leider wenig Ideen.
>  
> Aus ggT(g,h)=1 folgt ja, dass es Polynome r und s gibt mit
> rg+sh=1
>  
> Vielleicht hilft es, wenn ich die Gleichung mit h
> multipliziere:
>  [mm]rgh+sh^2=h \Rightarrow s(T)h(T)^2=h(T),[/mm] denn
> [mm]h(T)g(T)=m_T(T)=0[/mm]
>  
> Weiterhin [mm]s(T)h(T)^2=h(T) \gdw[/mm] s(T)h(T)(h(T)-1)=0.
>  Aber wahrscheinlich ist das nicht sehr hilfreich.
>  
> Bitte um Hilfe + einen Denkanstoß.

Du hast:

      (1)      x=r(T)g(T)x+s(T)h(T)x

und

        (2)    g(T)h(T)x =0=h(T)g(T)x



für jedes x [mm] \inV [/mm]

Dann r(T)g(T)x [mm] \in [/mm] kern(h(T)) und s(T)h(T)x [mm] \in [/mm] kern (g(T))

Aus (1): V = ker g(T ) $+ $ ker h(T )

Jetzt zeig du, dass obige Summe direkt ist.

FRED

>  
> Danke!
>  
>
>
> mfg, pyw


Bezug
                
Bezug
Minimalpolynom Zerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:32 Sa 07.05.2011
Autor: pyw

Hallo,
> Du hast:
>  
> (1)      x=r(T)g(T)x+s(T)h(T)x
>
> und
>
> (2)    g(T)h(T)x =0=h(T)g(T)x
>  
>
>
> für jedes x [mm]\inV[/mm]
>  
> Dann r(T)g(T)x [mm]\in[/mm] kern(h(T)) und s(T)h(T)x [mm]\in[/mm] kern
> (g(T))
>  
> Aus (1): V = ker g(T ) [mm]+[/mm] ker h(T )
>  
> Jetzt zeig du, dass obige Summe direkt ist.

ok, danke!

Summe direkt: Weil ker g(T) [mm] \cap [/mm] ker [mm] f(T)=\{0\}, [/mm] denn wäre [mm] 0\neq x\in [/mm] ker f(t), ker g(T), dann r(T)g(T)x+s(T)h(T)x=0 ein Widerspruch zu (1)

mfg,pyw

Bezug
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