Minimalpolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Britta82 |
Hi,
kann mir jemand sagen, wie ich das Minimalpolynom ganz einfach berechnen kann? Und wofür wird es überhaupt benötigt? Nur um die Diagonalisierbarkeit zu zeigen? Ist das Minimalplolynom gleich dem charakteristischem Polynom, wenn eine Matrix diagonalisierbar ist?
Danke für die Hilfe
LG
Britta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Britta!
> kann mir jemand sagen, wie ich das Minimalpolynom ganz
> einfach berechnen kann?
Du findest hier ein einfaches Beispiel. Grundsätzlich gilt: Das Minimalpolynom [mm] $MP_A(t)$ [/mm] einer Matrix $A$ ist das (normierte) Polynom $p(t)$ kleinsten Grades mit $p(A)=0$. Alle anderen Polynome mit dieser Eigenschaft sind Vielfache des Minimalpolynoms, insbesondere also das charakteristische Polynom.
Das Minimalpolynom hat die gleichen Nullstellen wie das charakteristische Polynom, insbesondere also auch die gleichen Linearfaktoren. Was du also tun kannst, ist folgendes:
Hast du ein charakteristisches Polynom [mm] $CP_A$ [/mm] der Form
[mm] $CP_A(t) [/mm] = (t- [mm] \lambda_1)^{n_1} \cdot \ldots \cdot [/mm] (t- [mm] \lambda_k)^{n_k}$,
[/mm]
dann beginnst du mal mit
$p(t) = [mm] (t-\lambda_1) \cdot \ldots \cdot (t-\lambda_k)$,
[/mm]
und testest, ob schon $p(A)=0$ gilt. Wenn ja, dann weißt du, dass [mm] $MP_A=p$ [/mm] gilt. Wenn nicht, dann musst du halt die Exponenten schrittweise erhöhen und so das Polynom kleinsten Grades finden, dass die Matrix $A$ annulliert.
Komplizierter geht es über die Bestimmung der Dimensionen der verallgemeinerten Eigenräume; ich nehme mal an das lernt ihr noch ihm Rahmen der Jordanschen Normalform.
> Und wofür wird es überhaupt
> benötigt? Nur um die Diagonalisierbarkeit zu zeigen?
Das Aussehen des Minimalpolynoms gibt einem wichtige Strukturaussagen über die Matrix (bzw. die dadurch induzierte lineare Abbildung). Insbesondere kann man in vielen Fällen daraus die Jordansche Normalform ablesen. (Wenn du sie noch nicht kennst: Dies ist eine wichtige Verallgemeinerung der Diagonalgestalt.)
> Ist
> das Minimalplolynom gleich dem charakteristischem Polynom,
> wenn eine Matrix diagonalisierbar ist?
Nein! Ganz schnell wieder vergessen!! 
Fast ist sogar das Gegenteil wahr (diese Aussage gilt nämlich nur, wenn das charakteristische Polynom direkt vollständig in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt).
Ganz genau gilt das Folgende:
Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und wenn das Minimalpolynom nur einfache Nullstellen hat (also paarweise verschiedene Linearfaktoren).
Gilt also (siehe oben)
[mm] $MP_A(t) [/mm] = [mm] (t-\lambda_1) \cdot \ldots \cdot (t-\lambda_k)$
[/mm]
mit paarweise verschiedenen [mm] $\lambda_i$, [/mm] dann ist $A$ diagonalisierbar (und zwar genau in diesen Fällen).
Dies ist gleichbedeutend damit, dass für jeden Eigenwert [mm] $\lambda_i$ [/mm] die algebraische Vielfachheit gleich dessen geometrischer Vielfachheit ist, oder -anders gesagt- dass es eine Basis des [mm] $\IK^n$ [/mm] gibt, die aus Eigenvektoren von $A$ besteht.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Di 02.08.2005 | | Autor: | Britta82 |
hi,
was mach ich denn wenn das charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren zerlällt? Gibt es das Minimalpolynom dann nicht?
Und, noch ne ganz blöde Frage, Wie kann ich das charakteristische Polynom in seinen Linearfaktoren schreiben, also es ist klar, wenn es ne obere Dreiecksmatrix ist , ne einfache binomische Formel kriege ich auch hin, aber gibt es einen Trick für z. B. x³ + x² -14x - 24?
Danke für die Hilfe
Britta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Di 02.08.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Britta,
> was mach ich denn wenn das charakteristische Polynom nicht
> in Linearfaktoren zerlällt? Gibt es das Minimalpolynom dann
> nicht?
doch, doch : Also das CharPoly existiert ja immer und erfüllt alle Eigenschaften des MinPoly außer der Minimalität, d.h. das MinPoly ist ein "Teiler" der CharPoly - wenn es nicht kleiner ist, dann ist es genau das CharPoly.
> Und, noch ne ganz blöde Frage, Wie kann ich das
> charakteristische Polynom in seinen Linearfaktoren
> schreiben, also es ist klar, wenn es ne obere
> Dreiecksmatrix ist , ne einfache binomische Formel
> kriege ich auch hin, aber gibt es einen Trick für z. B. x³
> + x² -14x - 24?
Du musst ja die Nullstellen berechnen - wie hast du es denn bisher gemacht?
Hier : Eine Nullstelle raten (gibt es auch noch Vorgehensweisen für) und dann die beiden anderen mittels p-q-Formel.
Aber zu deiner ursprünglichen Frage: Es gibt da noch eine praktische Rechenvariante:
Zur Berechnung des char.Polynoms stellst Du ja die Matrix $A'=(X*I-A)$
auf. Jetzt berechnest Du nicht die det davon, sondern wendest darauf
den Gauß-Algorithmus an, und zwar so, dass nur noch auf der
Diagonale Polynome stehen und alle anderen Elemente genullt werden.
Zusätzlich müssen alle Elementarteiler (das sind die Polynome auf der Diagonale) von links oben nach rechts unten Teiler von einander sein.
Wenn sie es nicht sind muss man etwas umständlich mitt dem ggT und den kgV vertauschen.
Das ist eine elende Rechnerei, aber es lohnt sich:
Ganz rechts unten steht dann das Minimalpolynom der Matrix, und das
Produkt über die Polynome auf der Diagonale ist das char. Polynom
der Matrix.
Man kann aus dieser Darstellung sogar noch viel mehr sehen, kommt
aber erst bei der Jordan-Normal-Form.
Ich mach es mal an einem Beispiel vor:
(abgeschrieben von ![[]](/images/popup.gif) anderem Thread)
Also sei [mm] $A=\pmat{6&-5&-5\\1&0&-1\\3&-3&-2}$. [/mm] Dann ist $A' = (X*I-A) = [mm] \pmat{X-6& 5& 5\\-1& X& 1\\-3& 3& X+2}$..
[/mm]
1. & 2. Zeile tauschen: [mm] $\pmat{-1& X& 1\\X-6& 5& 5\\-3& 3& X+2}$
[/mm]
2.Spalte + X*1.Spalte und 3.Spalte + 1.Spalte:
[mm] $\pmat{-1& 0& 0\\X-6& X^2-6X+5& X-1\\-3& -3X+3& X-1}$
[/mm]
Mit der -1 oben links kann man jetzt die ganze erste Spalte nullen,
ohne, dass sich in den anderen Spalten was ändert.
2. und 3.Spalte tauschen, 3.Zeile + (-1)*2.Zeile:
[mm] $\pmat{1& 0& 0\\0& X-1& X^2-6X+5\\0& 0& -X^2+3X-2}$
[/mm]
(-1)*3. Spalte + (X-5)*2. Spalte:
[mm] $\pmat{1& 0& 0\\0& X-1& 0\\0& 0& X^2-3X+2}$
[/mm]
Falls du auf der Diagonale ein Polynom stehen hast, und die Einträge
in der Zeile daneben und Spalte drunter Polynome höheren Grades,
aber keine Vielfachen von dem Diagonalpolynom sind, werden diese
natürlich nicht genullt. Man kann aber Division mit Rest machen, und
erhält so Polynome kleineren Grades, usw.,...
Auf jeden Fall hat man am Ende eine Matrix mit Einsen und Polynomen
auf der Diagonalen. Das Produkt darüber ist das char. Polynom der
Matrix, hier: [mm] $(X-1)^2*(X-2)$. [/mm] Das letzte Polynom auf der Diagonale
das Minimalpolynom, hier: $(X-1)(X-2)$.
Mit ein bischen Übung kommt das sogar relativ schnell - das ist der ähnliche Effekt wie beim Invertieren mit Gauß-Jorden, wenn man es 15 mal gemacht hat, ist man 5 mal schneller als am Anfang.
viele Grüße
DaMenge
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