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Ich bräuchte Hife bei folgender Aufgabe:
Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, F : V -> V ein diagonalisierbarer Endomorphismus und S Teilmenge von K die Menge der Eigenwerte von F. Zeigen Sie:
Das Polynom g := Das Produkt aller (X-L) (L S)
erfüllt g (F) = 0, und folgern Sie: g ist Minimalpolynom von F.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:44 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo antimatheass,
> Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, F : V -> V
> ein diagonalisierbarer Endomorphismus und S Teilmenge von K
> die Menge der Eigenwerte von F. Zeigen Sie:
> Das Polynom g := Das Produkt aller (X-L) (L S)
>
> erfüllt g (F) = 0, und folgern Sie: g ist Minimalpolynom
> von F.
Also, S ist die Menge der Eigenwerte, das habe ich erst spät richtig verstanden, auch erst, als ich es mathematisch aufschrieb:
Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, F : V [mm] \to [/mm] V ein diagonalisierbarer Endomorphismus und S [mm] \subset [/mm] K die Menge der Eigenwerte von F.
Zeigen Sie:
Das Polynom $g := [mm] \produkt_{\lambda\in S} X-\lambda$ [/mm] erfüllt $g (F) = 0$, und folgern Sie: g ist Minimalpolynom von F.
Die erste Behauptung ist relativ trivial, denn:
Wenn F diagonalisierbar ist, dass gibt es eine Basis [mm] $\{u_1,\ldots,u_n\}$ [/mm] von V, die nur aus Eigenvektoren besteht.
Das heißt, jeder Vektor [mm] $v\in [/mm] V$ läßt sich als Linearkombination dieser Eigenvektoren darstellen: [mm] $\vec v=\mu_1*u_1+\ldots+\mu_n*u_n$.
[/mm]
Jetzt ist es ganz einfach zu zeigen, dass [mm] $g(F)(\vec v)=\vec [/mm] 0$ (g(F) ist ja eine lineare Abbildung/Matrix, und g(F)(v) ist die Abbildung g(F) angewendet auf den Vektor v).
Wahrscheinlich hattet Ihr schon den Satz, dass jedes Polynom mit g(F)=0 durch das Minimalpolynom geteilt wird: $m|g$.
Widerspruchsbeweis:
Ich nehme an, es gäbe ein h, das g teilt. Das hätte dann mindestens einen Faktor weniger als g, also für [mm] $S=\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}$ [/mm] dann beispielsweise:
[mm] $h(X)=\produkt_{2\le i\le n} X-\lambda_i$.
[/mm]
Jetzt vermute ich mal, dass für den Basisvektor [mm] u_1 [/mm] (der ja ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda_1 [/mm] ist) gar nicht gilt:
[mm] h(F)(u_1)=0
[/mm]
woraus natürlich dann folgen würde, dass h kein Minimalpolynom sein kann.
Kannst du meine Vermutung zeigen?
Viele Grüße,
Marc
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Vielen Dank, ich denke nun krieg ich es hin.
gruß
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