Minimalpolynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Do 11.09.2008 | | Autor: | kerli |
Hallo!
Beschäftige mich gerade mit Pisotzahlen und da taucht in einem Beweis folgendes Problem auf.
Sei P das Minimalpolynom der Pisotzahl [mm] p_{0} [/mm] und seien [mm] P_{2} [/mm] und [mm] P_{3} [/mm] Polynome definiert durch [mm] P_{2}=\produkt_{i=0}^{n}(x-p_i^{2})
[/mm]
[mm] P_{3}=\produkt_{0\le i
wobei [mm] p_{1},...,p_{n} [/mm] die Konjugierten von [mm] p_{0} [/mm] sind. Da P irreduzibel ist, sind [mm] P_{2} [/mm] und [mm] P_{3} [/mm] es auch, aber wieso?
Ich stehe hier irgendwie auf dem Schlauch.
Bei [mm] P_{2} [/mm] fällt mir ein, dass [mm] p_{0}^{k} \not\in \IQ \forall [/mm] k>1 und damit [mm] \IQ(p_{0})=\IQ(p_{0}^k), [/mm] also das Minimalpolynom von [mm] p_{0}^{2} [/mm] auch Grad n+1 hat und damit [mm] P_{2} [/mm] nicht irreduzibel sein kann.
Aber die Irreduzibilität von [mm] P_{3} [/mm] ist mir schleierhaft...
Vielen Dank im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Do 11.09.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Beschäftige mich gerade mit Pisotzahlen und da taucht in
> einem Beweis folgendes Problem auf.
> Sei P das Minimalpolynom der Pisotzahl [mm]p_{0}[/mm] und seien
> [mm]P_{2}[/mm] und [mm]P_{3}[/mm] Polynome definiert durch
> [mm]P_{2}=\produkt_{i=0}^{n}(x-p_i^{2})[/mm]
>
> [mm]P_{3}=\produkt_{0\le i
> wobei
> [mm]p_{1},...,p_{n}[/mm] die Konjugierten von [mm]p_{0}[/mm] sind. Da P
> irreduzibel ist, sind [mm]P_{2}[/mm] und [mm]P_{3}[/mm] es auch, aber wieso?
> Ich stehe hier irgendwie auf dem Schlauch.
Ist dir denn klar dass es Polynome mit Koeffizienten in [mm] $\IQ$ [/mm] sind?
> Bei [mm]P_{2}[/mm] fällt mir ein, dass [mm]p_{0}^{k} \not\in \IQ \forall[/mm]
> k>1 und damit [mm]\IQ(p_{0})=\IQ(p_{0}^k),[/mm] also das
> Minimalpolynom von [mm]p_{0}^{2}[/mm] auch Grad n+1 hat und damit
> [mm]P_{2}[/mm] nicht irreduzibel sein kann.
Dass [mm] $p_0^k \not\in \IQ$ [/mm] ist ist klar, aber warum sollte daraus folgen [mm] $\IQ(p_0) [/mm] = [mm] \IQ(p_0^2)$? [/mm] Daraus folgt doch erstmal nur [mm] $\IQ(p_0^2) \neq \IQ$. [/mm] Oder weisst du, dass $n + 1$ eine Primzahl ist (dann waer's sofort klar) oder zumindest ungerade (dann waer's auch klar, da [mm] $[\IQ(p_0) [/mm] : [mm] \IQ(p_0^2)]$ [/mm] entweder 1 oder 2 sein muss).
> Aber die Irreduzibilität von [mm]P_{3}[/mm] ist mir
> schleierhaft...
Da das Polynom nur einfache Nullstellen hat, reicht es aus zu zeigen, dass die Galoisgruppe transitiv auf den Nullstellen operiert. D.h. du musst zu jedem Paar $i, j [mm] \in \{ 0, \dots, n \}$ [/mm] mit $i < j$ zeigen, dass es einen Automorphismus [mm] $\varphi [/mm] : K [mm] \to [/mm] K$ (mit $K$ Zerfaellungskoerper von $P$) gibt mit [mm] $\varphi(p_0 p_1) [/mm] = [mm] p_i p_j$.
[/mm]
Und apropos, dasselbe kannst du auch mit [mm] $P_2$ [/mm] machen, du musst einfach zeigen dass die Nullstellen paarweise verschieden sind (dass die Galoisgruppe transitiv operiert ist klar, weil sie transitiv auf den [mm] $p_0, \dots, p_n$ [/mm] operiert), d.h. du musst zeigen dass aus [mm] $p_i^2 [/mm] = [mm] p_j^2$ [/mm] folgt [mm] $p_i [/mm] = [mm] p_j$. [/mm] Beachte dazu die Absolutbetraege bzgl. den verschiedenen Konjugationen, nur ein bestimmter ist $> 1$, die anderen sind alle $< 1$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Fr 12.09.2008 | | Autor: | kerli |
Vielen Dank erstmal!
Nun zu meinen Überlegungen bezüglich deiner Antwort...
> Ist dir denn klar dass es Polynome mit Koeffizienten in [mm]\IQ[/mm]
> sind?
Bei [mm] P_{2} [/mm] folgt das aus
[mm] P_{2}=\produkt_{i=0}^{n}(x-p_i^{2})
[/mm]
[mm] =\produkt_{i=0}^{n}(y-p_i)(y+p_i)
[/mm]
mit [mm] y=x^{2}, [/mm] da P nur Koeffizienten in [mm] \IQ [/mm] oder sogar [mm] \IZ, [/mm] da [mm] p_{0} [/mm] ganzalgebraisch ist.
Bei [mm] P_{3} [/mm] sehe ich das nicht so leicht. Klar ist, dass der letzte und erste bzw. zweite Koeffizient von [mm] P_{3} [/mm] in [mm] \IQ [/mm] liegt, da sie auch schon als Koeffizienten in P auftauchen. Die anderen Koeffizienten hingegen bereiten mir Probleme.
> > Bei [mm]P_{2}[/mm] fällt mir ein, dass [mm]p_{0}^{k} \not\in \IQ \forall[/mm]
>
> Dass [mm]p_0^k \not\in \IQ[/mm] ist ist klar, aber warum sollte
> daraus folgen [mm]\IQ(p_0) = \IQ(p_0^2)[/mm]? Daraus folgt doch
> erstmal nur [mm]\IQ(p_0^2) \neq \IQ[/mm]. Oder weisst du, dass [mm]n + 1[/mm]
> eine Primzahl ist (dann waer's sofort klar) oder zumindest
> ungerade (dann waer's auch klar, da [mm][\IQ(p_0) : \IQ(p_0^2)][/mm]
> entweder 1 oder 2 sein muss).
>
Hier hast du natürlich Recht. Aber ich weiß, dass es gelten muss. Also dass [mm] \IQ(p_0)=\IQ(p_0^k), [/mm] nur nicht wieso es gilt.
>
> Da das Polynom nur einfache Nullstellen hat, reicht es aus
> zu zeigen, dass die Galoisgruppe transitiv auf den
> Nullstellen operiert.
Das ist mir gerade unklar, wieso die Nullstellen einfach sind.
Vielen Dank nochmal für deine Hilfe, werde mich jetzt mal daran versuchen zu zeigen, dass die Galoisgruppe transitiv auf den Nullstellen operiert und dir das dann präsentieren.
mit freundlichen Grüßen, Kerli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 So 14.09.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Nun zu meinen Überlegungen bezüglich deiner Antwort...
> > Ist dir denn klar dass es Polynome mit Koeffizienten in
> > [mm]\IQ[/mm] sind?
> Bei [mm]P_{2}[/mm] folgt das aus
> [mm]P_{2}=\produkt_{i=0}^{n}(x-p_i^{2})[/mm]
> [mm]=\produkt_{i=0}^{n}(y-p_i)(y+p_i)[/mm]
> mit [mm]y=x^{2},[/mm] da P nur Koeffizienten in [mm]\IQ[/mm] oder sogar [mm]\IZ,[/mm]
> da [mm]p_{0}[/mm] ganzalgebraisch ist.
Alternativ kannst du auch einfach die Galoisaktion betrachten: wenn du einen Automorphismus von [mm] $\IC$ [/mm] bzw. vom Zerfaellungskoerper auf das Polynom loslaesst, permutiert dieser einfach die Faktoren des Produktes; es kommt also wieder genau das gleiche Produkt heraus. Und ein Polynom, welches von allen Automorphismen von [mm] $\IC$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] (bzw. vom ZK ueber [mm] $\IQ$) [/mm] festgelassen wird, hat bereits Koeffizienten in [mm] $\IQ$.
[/mm]
> Bei [mm]P_{3}[/mm] sehe ich das nicht so leicht. Klar ist, dass der
> letzte und erste bzw. zweite Koeffizient von [mm]P_{3}[/mm] in [mm]\IQ[/mm]
> liegt, da sie auch schon als Koeffizienten in P auftauchen.
> Die anderen Koeffizienten hingegen bereiten mir Probleme.
Hier kannst du auch am einfachsten mit der Galoisaktion argumentieren.
> > > Bei [mm]P_{2}[/mm] fällt mir ein, dass [mm]p_{0}^{k} \not\in \IQ \forall[/mm]
> >
> > Dass [mm]p_0^k \not\in \IQ[/mm] ist ist klar, aber warum sollte
> > daraus folgen [mm]\IQ(p_0) = \IQ(p_0^2)[/mm]? Daraus folgt doch
> > erstmal nur [mm]\IQ(p_0^2) \neq \IQ[/mm]. Oder weisst du, dass [mm]n + 1[/mm]
> > eine Primzahl ist (dann waer's sofort klar) oder zumindest
> > ungerade (dann waer's auch klar, da [mm][\IQ(p_0) : \IQ(p_0^2)][/mm]
> > entweder 1 oder 2 sein muss).
>
> Hier hast du natürlich Recht. Aber ich weiß, dass es gelten
> muss. Also dass [mm]\IQ(p_0)=\IQ(p_0^k),[/mm] nur nicht wieso es
> gilt.
Dass es gilt folgt daraus, dass das Polynom [mm] $\prod_{i=0}^n [/mm] (x - [mm] p_i^k)$ [/mm] irreduzibel ist fuer alle $k [mm] \in \IN$; [/mm] fuer den Fall $k = 2$ sollst du das ja gerade hier zeigen.
Dass die Nullstellen paarweise verschieden sind, das also [mm] $p_i^k \neq p_j^k$ [/mm] ist fuer $i [mm] \neq [/mm] j$, ist noch relativ einfach. Damit das Polynom dann irreduzibel ist brauchst du dann, dass die Galoisgruppe transitiv auf den Faktoren des Produktes operiert.
> > Da das Polynom nur einfache Nullstellen hat, reicht es aus
> > zu zeigen, dass die Galoisgruppe transitiv auf den
> > Nullstellen operiert.
> Das ist mir gerade unklar, wieso die Nullstellen einfach
> sind.
Nehmen wir doch mal an, dass [mm] $p_i p_j [/mm] = [mm] p_k p_\ell$ [/mm] ist mit $0 [mm] \le [/mm] i < j [mm] \le [/mm] n$ und $0 [mm] \le [/mm] k < [mm] \ell \le [/mm] n$ ist, mit $(i, j) [mm] \neq [/mm] (k, [mm] \ell)$. [/mm] Durch Anwendung eines passenden Automorphismus' kannst du $i = 0$ erreichen.
Jetzt kann entweder $k = 0 = i$ sein oder $k [mm] \neq [/mm] 0 = i$. Im ersten Fall bekommst du sofort $j = [mm] \ell$, [/mm] ein Widerspruch. Also muss $k [mm] \neq [/mm] i$ sein. Aus dem gleichen Grund muss $k [mm] \neq [/mm] j$ und [mm] $\ell \neq [/mm] i$ sein. Durch passende Nummerierung der Konjugierten koennen wir also $i = 0$, $j = 1$, $k = 2$, [mm] $\ell [/mm] = 3$ annehmen. Du musst also [mm] $p_0 p_1 \neq p_2 p_3$ [/mm] zeigen, und kannst $n [mm] \ge [/mm] 3$ annehmen (ansonsten haette schon einer der anderen Faelle auftreten muessen).
Nun muss [mm] $|p_1| [/mm] < [mm] |p_2|$ [/mm] oder [mm] $|p_1| [/mm] < [mm] |p_3|$ [/mm] sein (oder beides), da [mm] $|p_0| [/mm] > 1$ ist und [mm] $|p_i| [/mm] < 1$ fuer $i > 0$. Ohne Einschraenkung (wieder umnummerieren bei Bedarf) koennen wir [mm] $|p_1| [/mm] < [mm] |p_2|$ [/mm] annehmen. Dann haben wir [mm] $|p_1| [/mm] < [mm] |p_2|$ [/mm] und [mm] $|p_3| [/mm] < 1 < [mm] |p_0|$. [/mm] Vielleicht kannst du jetzt einen passenden Automorphismus nehmen, der das so permutiert, dass du damit (oder mit ein paar mehr Schritten) einen Widerspruch bekommst? Ich hab jetzt nicht so viel Zeit und Lust mir das bis zum Schluss zu ueberlegen, aber ich vermute mal so kommst du weiter.
Dass es einen solchen Automorphismus gibt ist uebrigens die Frage danach, ob die Galoisgruppe transitiv operiert.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:11 Di 16.09.2008 | | Autor: | kerli |
Hey Felix,
das war echt eine große Hilfe! Dankeschön!!!
Habe die Irreduzibilität von [mm] P_2 [/mm] mit deinen Tipps jetzt sehr einfach beweisen können.
[mm] P_3 [/mm] hingegen bereitet mir immer noch Probleme...
Ich bekomme hier nur folgendes zustande...
[mm] \sigma(0)=\sigma(\rho_0\rho_1-\rho_2\rho_3)=\sigma(\rho_0\rho_1)-\sigma(\rho_2\rho_3)=\sigma(\rho_0)\sigma(\rho_1)-\sigma(\rho_2)\sigma(\rho_3)=0
[/mm]
und versuche dann mit den verschiedenen Automorphismen diese Gleichung zu verifizieren... und das klappt leider auch immer...
Ich bekomme den Beweis einfach nicht hin.
Wenn du also doch etwas mehr Zeit findest, wäre es außergewöhnlichsupermegafreundlich, wenn du noch einmal drüber schaust...
Vielen Dank, I owe you something...
Kerli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Mi 24.09.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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