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Hallo,
folgende Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Erstmal nur das Minimalpolynom bestimmen.
Allgemein bestimme ich das Minimalpolynom wie folgt:
1. Bestimme das charakteristische Polynom [mm] p_A(x)
[/mm]
2. Setze A für x in [mm] p_A [/mm] ein. Falls [mm] p_A(A) [/mm] = 0 ist [mm] p_A [/mm] das Minimalpolynom. 3. Falls [mm] p_A(A) \not= [/mm] 0 den Grad von [mm] p_A(x) [/mm] so lange um 1 verringern bis [mm] p_A(A) [/mm] = 0 ist.
Das charakteristische Polynom von [mm] A_a [/mm] ist [mm] p_{A_a}(\lambda) [/mm] = [mm] (a-\lambda)^3(\lambda-2)^2
[/mm]
[mm] p_{A_a}(A_a) [/mm] = 0 - also ist das Minimalpolynom = charakteristisches Polynom = [mm] (a-\lambda)^3(\lambda-2)^2
[/mm]
Oder?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo abi2007LK,
> Hallo,
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> folgende Aufgabe:
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Erstmal nur das Minimalpolynom bestimmen.
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> Allgemein bestimme ich das Minimalpolynom wie folgt:
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> 1. Bestimme das charakteristische Polynom [mm]p_A(x)[/mm]
> 2. Setze A für x in [mm]p_A[/mm] ein. Falls [mm]p_A(A)[/mm] = 0 ist [mm]p_A[/mm] das
> Minimalpolynom. 3. Falls [mm]p_A(A) \not=[/mm] 0 den Grad von [mm]p_A(x)[/mm]
> so lange um 1 verringern bis [mm]p_A(A)[/mm] = 0 ist.
>
> Das charakteristische Polynom von [mm]A_a[/mm] ist [mm]p_{A_a}(\lambda)[/mm]
> = [mm](a-\lambda)^3(\lambda-2)^2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]p_{A_a}(A_a)[/mm] = 0 - also ist das Minimalpolynom =
> charakteristisches Polynom = [mm](a-\lambda)^3(\lambda-2)^2[/mm]
>
> Oder?
In diesem Falle ist eine Fallunterscheidung zu empfehlen.
Sei [mm]K_{a}:=A-a*I[/mm] und [mm]K_{2}=A-2*I[/mm]
Dann hast Du insgesamt 6 Fälle zu betrachten:
1. [mm]K_{a}*K_{2}[/mm]
2. [mm]K_{a}*K_{2}^{2}[/mm]
3. [mm]K_{a}^{2}*K_{2}[/mm]
4. [mm]K_{a}^{2}*K_{2}^{2}[/mm]
5. [mm]K_{a}^{3}*K_{2}[/mm]
6. [mm]K_{a}^{3}*K_{2}^{2}[/mm]
Je nach Wahl des Parameters a lautet das Minimalpolynom anders.
Untersuche für welchen Wert des Parameters a die obigen Matrizen die Nullmatrix ergeben.
Gruß
MathePower.
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Das verstehe ich leider nicht. Wieso Fallunterscheidung? Wie kommst du auf [mm] K_a?
[/mm]
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Hallo abi2007LK,
> Das verstehe ich leider nicht. Wieso Fallunterscheidung?
Weil je nach Wahl des Parameter a die Matrix A anders aussieht.
> Wie kommst du auf [mm]K_a?[/mm]
Das charakteristische Polynom lautet ja:
[mm]p\left(\lambda\right)=-\left(\lambda-a\right)^{3}*\left(\lambda-2\right)^{2}[/mm]
Daruas ergibt sich dann
[mm]p\left(A\right)=-\left(A-a*I\right)^{3}*\left(A-2*I\right)^{2}[/mm]
Um Schreibarbeit zu sparen, habe ich
[mm]K_{a};=A-a*I[/mm] und [mm]K_{2}:=A-2*I[/mm]
definiert.
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>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Di 29.04.2008 | | Autor: | Sajuri |
Hallo abi2007LK,
ich denke wir studieren zusammen:)
Nachdem du das Charakteristische Polynom bestimmt hast, musst du dann Index des Hauptraumes bestimmen.
Dazu brauchst du Satz 20 aus dem Skriptum:
Es seien V ein K-Vektorraum, dim V=n, [mm] F\inHom [/mm] (V,V) und c ein Eigenwert von F. Dann ist der Index der Hauptraums [mm] H_{c} [/mm] zum Eigenwert c ist die kleinste Zahl [mm] s\in\IN, [/mm] für die
Kern [mm] (F-cid_{v})^{s} [/mm] = Kern [mm] (F-cid_{v})^{s+1} [/mm] gilt.
Das bedeutet
Zum Beispiel:
zum Eigenwert x=a
Rang(A-aE)=4
[mm] Rang(A-aE)^{2}=3
[/mm]
[mm] Rang(A-aE)^{3}=2
[/mm]
[mm] Rang(A-aE)^{4}=2
[/mm]
usw. bis du nicht zwei gleichen Ränge kriegst. In diesem Beispiel Index ist 3. Danach berechne Hauptraum:
[mm] Kern(A-aE)^{3}
[/mm]
Und gleich mit Eigenwert x=2
Am besten s. Beispiel a und b Seite 199 Skriptum.
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