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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Fr 07.03.2008 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | Die Matrix A [mm] \in M_n(K) [/mm] erfülle [mm] A^2=A [/mm] und A habe den Rang r > 0. Dann gilt [mm] X_A(X)= [/mm] , und [mm] \mu_A(X) [/mm] hat die Gestalt [mm] \mu_A(X)= [/mm] oder [mm] \mu_A(X)= [/mm] .
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Hallo zusammen,
meine bisherigen Überlegungen: Eine Matrix A, die die Bedingung erfüllt, kann nur die Einheitsmatrix E oder eine Matrix mit lauter Nullen sein. Letzteres kommt wegen Rang r > 0 nicht in Frage.
Das charakteristische Polynom lautet dann [mm] (X-1)^n. [/mm] .
Aber wie ist das jetzt mit dem Minimalpolynom, ist das nicht eindeutig bestimmt? Und wenn ich A-E berechne, erhalte ich doch sofort 0, da nach meiner Annahme A=E ist.
Wie müssen die Minimalpolynome lauten?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Fr 07.03.2008 | | Autor: | statler |
> Die Matrix A [mm]\in M_n(K)[/mm] erfülle [mm]A^2=A[/mm] und A habe den Rang
> r > 0. Dann gilt [mm]X_A(X)=[/mm] , und [mm]\mu_A(X)[/mm]
> hat die Gestalt [mm]\mu_A(X)=[/mm] oder [mm]\mu_A(X)=[/mm]
>
Mahlzeit! Und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> meine bisherigen Überlegungen: Eine Matrix A, die die
> Bedingung erfüllt, kann nur die Einheitsmatrix E oder eine
> Matrix mit lauter Nullen sein. Letzteres kommt wegen Rang
> r > 0 nicht in Frage.
Diese Überlegungen können noch nicht ganz richtig sein. Denk mal an A =
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }.
[/mm]
So weit zunächst.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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