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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Minimalpolynom
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Minimalpolynom: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:58 Sa 18.12.2004
Autor: nix-blicker

Ich soll zwei Matrizen A, B mit [mm] m_{AB} \not=m_{BA} [/mm] angeben.
Ich weiß, dass AB [mm] \not=BA [/mm] und dass das charakteristische Polynom von AB und BA gleich ist.
Ich habe A= [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ -1 & -2 } [/mm] und B= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & -0,5 } [/mm] gewählt.
[mm] \Rightarrow [/mm] AB= [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] ; BA= [mm] \pmat{ -1 & -2 \\ -0,5 & 1 } [/mm]
und das charkteristische [mm] Polynom=x^2 [/mm]
Wie errechne ich nun das Minimalpolynom?
Kann es sein, dass [mm] m_{AB}=x [/mm] und [mm] m_{BA}=x^2 [/mm] ?
        
Bezug
Minimalpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Sa 18.12.2004
Autor: Stefan

Hallo nix-blicker!

> Ich soll zwei Matrizen A, B mit [mm]m_{AB} \not=m_{BA}[/mm]
> angeben.
>  Ich weiß, dass AB [mm]\not=BA[/mm] und dass das charakteristische
> Polynom von AB und BA gleich ist.

[ok]

>  Ich habe A= [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ -1 & -2 }[/mm] und B= [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & -0,5 }[/mm]
> gewählt.
> [mm]\Rightarrow[/mm] AB= [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] ; BA= [mm]\pmat{ -1 & -2 \\ -0,5 & 1 } [/mm]

[notok]

Es muss

$BA = [mm] \pmat{ - 1 & -2 \\ 0,5 & 1 }$ [/mm]

heißen.
  
> und das charkteristische [mm]Polynom=x^2 [/mm]

Das stimmt dann wieder.

>  Wie errechne ich nun das Minimalpolynom?
>  Kann es sein, dass [mm]m_{AB}=x[/mm] und [mm]m_{BA}=x^2[/mm] ?

Völlig richtig, denn wenn ich $AB$ in das Polynom $p(x)=x$ einsetze, kommt die Nullmatrix raus, weil $AB$ die Nullmatrix ist.

Gut gemacht! [daumenhoch]

Liebe Grüße
Stefan  

Bezug
                
Bezug
Minimalpolynom: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:54 So 19.12.2004
Autor: nix-blicker

Vielen Dank für deine Mühe!
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