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Ich bin etwas verwirrt, was die Definition des Minimalpolynoms angeht. Nach Wikipedia ist
"das Minimalpolynom p einer quadratischen n×n-Matrix A über einem Körper K ist das normierte Polynom kleinsten Grades mit Koeffizienten in K, so dass p(A) = 0 (die Nullmatrix) ist."
Demnach ist das Minimalpolynom also eine Funktion von Matrix zu Matrix. Man setzt eine Matrix ein und erhält eine Matrix als Funktionswert.
Aber dann ist auf einmal von Äquivalenzen die Rede:
* λ ist Nullstelle von p, d.h. p(λ) = 0,
* λ ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms von A,
* λ ist ein Eigenwert von A.
Wonach auf einmal die Minimalpolynomfunktion eine Funktion von Körper nach Körper, also von K nach K ist. Man setzt ein Körperelement ein und erhält ein Körperelement.
Was ist sie denn nun?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 So 31.12.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Merowingian
Ist K ein Körper und A eine [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix, (oder alternativ) A ein Endomorphismus T (Endomorphismus = Abbildung einer Menge auf sich) eines endlichdimensionalen K-Vektorraumes, so ist das Minimalpolynom p(x) in erster Linie ein Element des Polynomringes $K[x]$.
Jedes Polynom kann man p(x) kann man interpretieren als Polynomfunktion $p(x): [mm] K\to [/mm] K$. In diesem Sinne kann man von Nullstellen des Polynoms sprechen (Nullstelle = Argumente x, für die der Funktionswert 0 ist).
Andrerseits, kann man aber auch für x die Matrix A (oder alternativ) den Endomorphismus T einsetzen. D.h. man kann p(x) als eine Funktion des Matrizenringes $p(x): [mm] K^{n\times n}\to K^{n\times n}$ [/mm] (oder alternativ) des Endomorphismenringes ansehen. In diesem Sinne ist p(x) das normierte Polynom kleinsten Grades, für den die Matrix p(A) die Nullmatrix ist (oder alternativ) p(T) der Nullendomorphismus ist.
mfG Moudi
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