Minimale Ellipse < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:14 Mi 05.01.2005 | | Autor: | PTE |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Analysis Experten!
Ich versuche folgendes Problem zu lösen:
Gegeben ist ein n-dimensionales Ellipsoid E1, gegeben durch eine symmetrische Matrix sowie ein Punkt P der ausserhalb des Ellipsoiden liegt. Der Mittelpunkt des Ellispoiden E1 liegt im Ursprung des Koordinatensystems. Gesucht ist der Ellipsoid E2 minimalen Volumens, auf dessen Oberfläche P liegt und der Ellipsoid E1 gerade umschließt. Der Mittelpunkt von E2 soll ebenfalls im Ursprung liegen.
Kann man sich den Ellipsoiden E2 "konstruieren" oder muss man hier ein Minimierungsproblem (numerisch) lösen?
Ich hoffe, Ihr könnt mir weiterhelfen!
Vielen Dank und Gruß,
PTE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber PTE
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich habe da zwar keine Lösung, aber eine Idee, wie man das angehen könnte.
Durch lineare Abbildungen bleiben ja Volumenverhältnisse zwischen den Körpern erhalten.
Demzufolge könnte folgendes klappen:
M sei deine symmetrische Matrix, welche E1 definiert.
1) Durch anwenden von [mm] $M^{-1}$ [/mm] wird dein Ellipsoid zu einer Kugel K1, und das Bild von P, ich bezeichne es mit P', liegt ausserhalb von K1.
2) Bilde ein Ellipsoid E2' durch P', welches die Kugel umfasst. Damit es minimales Volumen hat, müsste OP' gerade die lange Halbachse von E2' sein.
3) Wende M auf E2' an, und du hast dein gesuchtes E2.
Mit liebe Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:40 Fr 07.01.2005 | | Autor: | PTE |
Hallo!
Danke für die schnelle Hilfe! Habe etwas länger gebraucht, um das mal durchzuspielen. Das Ganze sieht zumindest graphisch sehr gut aus. Falls ich demnächst mal einen Beweis versuchen sollte, werde ich ihn noch ergänzen.
Habe jetzt erst festgestellt, dass ich im falschen Forum gepostet habe. Sorry!
Gruss,
PTE
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