Minima, Maxima, Sattelpunkt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:02 Mo 20.06.2005 | | Autor: | abudabu |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo allerseits,
ich habe mal ne Frage zu Extrema bei Funktionen mehrerer Variablen.
Die Funktion ist:
f(x,y) = [mm] x^3/3 [/mm] + x * [mm] y^2 [/mm] - x
ich habe die stationären Punkte (1, 0) und (0, 1) gefunden.
Die zweite Ableitung von f nach x ist 2x, nach y ist sie ebenfalls 2x.
Kann ich jetzt einfach wie bei einer Variablen sagen: für (1, 0) sind die zweiten Ableitungen positiv => Minimum
Für (0, 1) sind die Ableitungen 0 => Bildung der dritten Ableitung [mm] (d^3f/dx^3 [/mm] = 2 , [mm] d^3f/dy^3 [/mm] = 0) und hieraus schließen, dass (0, 1) ein Sattelpunkt ist?
Wenn das irgendwie anders geht, wäre ich sehr daran interessiert wie.
Danke
Ricky
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Nun ja, du musst dir die Hesse Matrix anschauen !
[mm] H_f(x,y)=\pmat{ 2x & 2y \\ 2y & 2x }
[/mm]
Also allgemein [mm] det(H_f)=4(x^2-y^2)
[/mm]
=>
[mm] det(H_f(1,0))=4>0 [/mm] (positiv definint , also Minimum
[mm] det(H_f(0,1))=-4<0 [/mm] indefinit (Sattelpunkt ?)
Wobei ich noch habe:
[mm] det(H_f(-1,0))=4>0 [/mm] (positiv definint (da ja auch a>0) also Minimum
[mm] det(H_f(0,-1))=-4<0 [/mm] indefinit
Wenn ich mich mit den Regeln nicht vertan habe ! ... *g*
Faenôl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Mo 20.06.2005 | | Autor: | MathePower |
Hallo,
> [mm]det(H_f(1,0))=4>0[/mm] (positiv definint , also Minimum
> [mm]det(H_f(0,1))=-4<0[/mm] indefinit (Sattelpunkt ?)
das mit dem Sattelpunkt stimmt.
>
>
> Wobei ich noch habe:
> [mm]det(H_f(-1,0))=4>0[/mm] (positiv definint (da ja auch a>0) also
> Minimum
> [mm]det(H_f(0,-1))=-4<0[/mm] indefinit
Das stimmt auch.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Mo 20.06.2005 | | Autor: | abudabu |
Danke Faenôl!
> [mm]det(H_f(0,1))=-4<0[/mm] indefinit (Sattelpunkt ?)
Aber was sagt mir das nun über Meinen Punkt (0, 1) aus, außer das ich nichts dazu weiß? Dieser Punkt muß doch Minimum, Maximum oder Sattelpunkt sein, da wird es doch eine Möglichkeit geben das auch zu bestimmen, nur wie?
Gruß Ricky
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Hallo abudabu,
> > [mm]det(H_f(0,1))=-4<0[/mm] indefinit (Sattelpunkt ?)
>
> Aber was sagt mir das nun über Meinen Punkt (0, 1) aus,
> außer das ich nichts dazu weiß? Dieser Punkt muß doch
> Minimum, Maximum oder Sattelpunkt sein, da wird es doch
> eine Möglichkeit geben das auch zu bestimmen, nur wie?
die Bedingungen für das Vorliegen eines Extremums sind [mm]f_{x}(x_{0},\;y_{0})\;=\;f_{y}(x_{0},\;y_{0})\;=\;0[/mm]. Außerdem muß [mm](f_{xx}\;f_{yy}\;-(f_{xy})^{2})(x_{0},\;y_{0})\;>\;0[/mm] erfüllt sein.
Ist an dieser Stelle [mm]f_{xx}\;>\;0[/mm] so handelt es sich um ein Minimum.
Ist an dieser Stelle [mm]f_{xx}\;<\;0[/mm] so handelt es sich um ein Maximum.
Ist [mm](f_{xx}\;f_{yy}\;-(f_{xy})^{2})(x_{0},\;y_{0})\;<\;0[/mm], so handelt es sich um einen Sattel- oder Jochpunkt.
Ist [mm](f_{xx}\;f_{yy}\;-(f_{xy})^{2})(x_{0},\;y_{0})\;=\;0[/mm], so kann nicht entschieden werden, ob ein Extremum vorhanden ist oder nicht.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Mo 20.06.2005 | | Autor: | HomerSi |
Hallo alle zusammen,
also in meinem Buch stehen folgende Bedingungen für Extrema:
1. f nach x abgeleitet von 0 ( ich denke mal es ist gemeint das es exestieren soll, oder es hat etwas mit 2. zu tun)
2. f nach y =0
3.f nach xx * f nach yy - ( f nach xy )^² >0 (<0, dann wäre es ein Sattelpunkt)
Max. f nach xx <0
Min. f nachxx >0
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