Min,Max unter Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Fr 04.07.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | Falls vorhanden, bestimme man die Min und Max von g unter der Nebenbedingung [mm] M_0^{(f)}:
[/mm]
[mm] g:\IR^3->\IR;(x,y,z)->(x+y)z
[/mm]
[mm] f:\IR^2->\IR^2;(x,y)->(x^2+y^2-1,xy-z^2) [/mm] |
tag auch :)
ich hab egtl nur ne kleine frage zur nb, wie man die jetzt genau einsetzt... ich würds nämlich so machen:
wegen [mm] M_0^{(f)} [/mm] : f(x,y)=(0,0 => [mm] x=\wurzel{1-y^2}, z=\wurzel{xy}.
[/mm]
=in g einsetzen=> [mm] (\wurzel{1-y^2}+y)\wurzel{xy}.
[/mm]
fällt mir gerad auf, kann bzw muss man für das x dann nomma [mm] \wurzel{1-y^2} [/mm] einsetzen? falls ja, hat man ja egtl ne funktion, die nur von y abhängt, davon dann die ableitung bestimmen und überprüfen, ob min/max existieren....
lieben gruß
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sorry, aber ich verstehe überhaupt nicht, was mit der
" Nebenbedingung [mm]M_0^{(f)}[/mm] "
gemeint sein soll...
kannst du das erläutern ?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 Fr 04.07.2008 | | Autor: | eumel |
das soll nur die nullniveaumenge sein, also
[mm] M_0^{(f)}:=\{(x,y)\in \IR^2 | f(x,y)=0 \}
[/mm]
gruß
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> Falls vorhanden, bestimme man die Min und Max von g unter
> der Nebenbedingung [mm]M_0^{(f)}:[/mm]
> [mm]g:\IR^3->\IR;(x,y,z)->(x+y)z[/mm]
> [mm]f:\IR^2->\IR^2;(x,y)->(x^2+y^2-1,xy-z^2)[/mm]
> tag auch :)
> ich hab egtl nur ne kleine frage zur nb, wie man die jetzt
> genau einsetzt... ich würds nämlich so machen:
> wegen [mm]M_0^{(f)}[/mm] : f(x,y)=(0,0 => [mm]x=\wurzel{1-y^2}, z=\wurzel{xy}.[/mm]
>
> =in g einsetzen=> [mm](\wurzel{1-y^2}+y)\wurzel{xy}.[/mm]
> fällt mir gerad auf, kann bzw muss man für das x dann
> nomma [mm]\wurzel{1-y^2}[/mm] einsetzen? falls ja, hat man ja egtl
> ne funktion, die nur von y abhängt, davon dann die
> ableitung bestimmen und überprüfen, ob min/max
> existieren....
>
> lieben gruß
Mit den Wurzeln wäre ich hier vorsichtig, weil man dabei
immer die beiden Vorzeichenmöglichkeiten im Auge behalten
müsste. Die Nebenbedingungen sind also, ohne Wurzeln
geschrieben:
[mm] x^2+y^2=1 [/mm] (Zylinderfläche)
und [mm] z^2=xy [/mm]
ein kleiner Tipp: es wäre möglicherweise eine gute Idee,
zuerst nach den Maxima und Minima der Hilfsfunktion
[mm] h(x,y,z)=g(x,y,z)^2
[/mm]
zu suchen...
Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 Fr 04.07.2008 | | Autor: | eumel |
ja gut, das war meine erste variante....
wusste nur net ob man das machen konnte ^^
thx
cu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Sa 05.07.2008 | | Autor: | eumel |
also die 2 bed. sind ja dann einmal
I) [mm] x^2+y^2=1
[/mm]
[mm] II)xy=z^2
[/mm]
[mm] h(x,y)|_{M_0^{(f)}}:=g^2(x,y,z)
[/mm]
[mm] h(x,y)=[(x+y)^2*z^2]=mit [/mm] I und II = (1+2xy)xy = [mm] xy+4x^2y^2
[/mm]
[mm] grad(h(x,y))=(y+4xy^2,x+4yx^2)=(0,0) [/mm]
=> (x,y)=(0,0), [mm] (x,y)=(\bruch{-1}{4y},y) [/mm] , [mm] (x,y)=(x,\bruch{-1}{4x})
[/mm]
um zu schauen obs max/min sind, hesse-matrix:
[mm] hess(g)=\pmat{4y^2 & 8xy+1 \\ 8xy+1 & 4x^2}
[/mm]
und die jweiligen punkte einsetzen, so erhält man
[mm] hess(g)|_{(0,0)}=\pmat{0 & 1 \\ 1 & 0} [/mm] => indefinit
[mm] hess(g)|_{(x,\bruch{-1}{4x})}=\pmat{4y^2& -3 \\ -3 & \bruch{-1}{16y^2)}} [/mm] => wegen [mm] \lambda_{1,2} [/mm] größer und kleiner null => indefinit
dito für [mm] hess(g)|_{(\bruch{-1}{4y},y)}
[/mm]
folgt daraus, dass g weder min noch max unter der nebenbed. [mm] M_0^{(f)} [/mm] hat? denn man hat ja hier nur [mm] h=g^2 [/mm] betrachtet.
kann es sein, dass wenn [mm] g^2 [/mm] keine min/max hat, dass g aber doch welche aufweisen kann?
danke und schönes we ^^
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> also die 2 bed. sind ja dann einmal
> I) [mm]x^2+y^2=1[/mm]
> [mm]II)xy=z^2[/mm]
>
> [mm]h(x,y)|_{M_0^{(f)}}:=g^2(x,y,z)[/mm]
> [mm]h(x,y)=[(x+y)^2*z^2]=mit[/mm] I und II = (1+2xy)xy = [mm]xy+4x^2y^2[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
dies müsste heissen: [mm] xy+2x^2y^2 [/mm] !
>
> [mm]grad(h(x,y))=(y+4xy^2,x+4yx^2)=(0,0)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(abgeleitet hast du offenbar doch den richtigen Term)
> => (x,y)=(0,0),
(erfüllt die Nebenbedingung (I) nicht ...)
> [mm](x,y)=(\bruch{-1}{4y},y)[/mm] ,
> [mm](x,y)=(x,\bruch{-1}{4x})[/mm]
zusammengefasst [mm] x*y=-\bruch{1}{4}
[/mm]
>
> um zu schauen obs max/min sind, hesse-matrix:
> [mm]hess(g)=\pmat{4y^2 & 8xy+1 \\ 8xy+1 & 4x^2}[/mm]
>
> und die jweiligen punkte einsetzen, so erhält man
> [mm]hess(g)|_{(0,0)}=\pmat{0 & 1 \\ 1 & 0}[/mm] => indefinit
>
> [mm]hess(g)|_{(x,\bruch{-1}{4x})}=\pmat{4y^2& -3 \\ -3 & \bruch{-1}{16y^2)}}[/mm]
wegen [mm] xy=-\bruch{1}{4} [/mm] ist [m]8xy+1=-2+1=-1[/m]
und: beim Glied unten rechts fehlt ein Faktor 4
Determinante: [mm] \left|{\pmat{4y^2 & -1 \\ -1 & 4x^2}}\right|=16x^2y^2-1=(4xy)^2-1=(-1)^2-1=0
[/mm]
Jetzt kommt leider noch etwas unangenehmes: die ganze Untersuchung
mit der Hesse-Matrix war hier eigentlich für die Katz' ... ![[heul]](/images/smileys/heul.gif "[heul]")
Warum: mit der Hesse-Matrix untersucht man das Verhalten von
Flächen in der Umgebung eines Punktes. Hier haben wir aber
wegen der Nebenbedingungen nur noch eine gewisse Kurve, längs
der wir uns bewegen.
Um Maxima und Minima in Punkten dieser Kurve zu suchen, könnte
man sie parametrisieren, hier z.B. mit einem Winkel als Parameter ...
> kann es sein, dass wenn [mm]g^2[/mm] keine min/max hat, dass g aber
> doch welche aufweisen kann?
nein, aber der umgekehrte Fall wäre möglich:
Beispiel: g(x)=x hat kein Extremum, [mm] h(x)=g(x)^2=x^2 [/mm] aber sehr wohl
ebenfalls schönes Wochenende !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 So 06.07.2008 | | Autor: | eumel |
also im prinzip dann mittels
[mm] x=rcos(\phi), y=rsin(\phi) [/mm]
=> [mm] grad(h|_{M_0^{(f)}})=(rsin(\phi)(1+4r^2sin(\phi)cos(\phi)),rcos(\phi)(1+4r^2sin(\phi)cos(\phi))
[/mm]
und dann mittels r -> 1,0 und [mm] \phi [/mm] -> [mm] \bruch{\pi}{2},0 [/mm] schauen ob der gradient dann auch wirklich verschwindet, also (0,0) wird?
lg
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> also im prinzip dann mittels
> [mm]x=rcos(\phi), y=rsin(\phi)[/mm]
> =>
> [mm]grad(h|_{M_0^{(f)}})=(rsin(\phi)(1+4r^2sin(\phi)cos(\phi)),rcos(\phi)(1+4r^2sin(\phi)cos(\phi))[/mm]
>
> und dann mittels r -> 1,0 und [mm]\phi[/mm] -> [mm]\bruch{\pi}{2},0[/mm]
> schauen ob der gradient dann auch wirklich verschwindet,
> also (0,0) wird?
>
> lg
Wegen [mm] x^2+y^2=1 [/mm] ist r=1, also:
[mm] x=cos(\phi),\quad y=sin(\phi),\quad z^2=x*y=sin(\phi)*cos(\phi)
[/mm]
g (oder eventuell wieder [mm] h=g^2) [/mm] wird dann eine Funktion der
einzigen Variablen [mm] \phi. [/mm] Dann sind wir bei gewöhnlicher Analysis
mit Ableitungen nur nach [mm] \phi [/mm] .
Zu berücksichtigen sind dann nur noch die Einschränkungen
wegen [mm] z^2=xy\ge [/mm] 0. Für den Winkel [mm] \phi [/mm] bedeutet dies, dass
nur Werte zwischen 0 und [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und solche zwischen [mm] \pi [/mm] und [mm] \bruch{3\pi}{2}
[/mm]
in Frage kommen.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 So 06.07.2008 | | Autor: | eumel |
würde man mit den transf. dann g betrachten hätte man doch
[mm] g(\phi)=(cos(\phi)+sin(\phi))*\wurzel{sin(\phi)cos(\phi)}
[/mm]
die dann jeweils untersuchen?
oder is die fkt oben falsch? ich hoff ma net, ich rechne jetzt damit ^^
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Hallo eumel,
> würde man mit den transf. dann g betrachten hätte man doch
> [mm]g(\phi)=(cos(\phi)+sin(\phi))*\wurzel{sin(\phi)cos(\phi)}[/mm]
>
> die dann jeweils untersuchen?
Jo, besser ist Du betrachtest die Funktion
[mm]h\left(\phi\right)=g^{2}(\phi)=(cos(\phi)+sin(\phi))^{2}*sin(\phi)cos(\phi)[/mm]
> oder is die fkt oben falsch? ich hoff ma net, ich rechne
> jetzt damit ^^
Gruß
MathePower
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