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| Aufgabe | Sei [mm] X=\IN [/mm] mit
[mm] d(m,n)=\begin{cases}|\bruch{1}{n}- \bruch{1}{m}| , & \mbox{falls } n \not= 1, m \not= 1 \\ \bruch{1}{m}, & \mbox{falls} n = 1, m \not= 1 \\ \bruch{1}{n}, & \mbox{falls } n \not= 1, m=1 \\ 0, & \mbox{falls } n=m=1\end{cases}
[/mm]
Ist [mm] (\IN,d) [/mm] ein metrischer Raum? |
So ich habe dann alle Metrikeigenschaften geprüft:
1. Definitheit:
[mm] d(m,n)=|\bruch{1}{n}- \bruch{1}{m}|\ge [/mm] 0
[mm] d(m,n)=|\bruch{1}{n}- \bruch{1}{m}|= [/mm] 0 [mm] \gdw \bruch{1}{n}=\bruch{1}{m}
[/mm]
2. Symmetrie:
[mm] d(m,n)=|\bruch{1}{n}- \bruch{1}{m}|=|\bruch{1}{m}- \bruch{1}{n}|=d(n,m)
[/mm]
3. Dreiecksungleichung:
1. [mm] n\not=1, m\not=1, l\not=1
[/mm]
[mm] d(m,l)=|\bruch{1}{m}- \bruch{1}{l}|= |\bruch{1}{m}- \bruch{1}{n}+\bruch{1}{n}- \bruch{1}{l}| \le |\bruch{1}{m}- \bruch{1}{n}|+ |\bruch{1}{n}- \bruch{1}{l}| [/mm] = d(m,n)+d(n,l)
2. n=1, [mm] m\not=1, l\not=1
[/mm]
d(n,l)= [mm] \bruch{1}{l}\le \bruch{1}{m}+\bruch{1}{l}= [/mm] d(m,n)+d(l,n)
3. [mm] n\not=1, [/mm] m=1, [mm] l\not=1
[/mm]
d(n,l)= [mm] \bruch{1}{l}\le \bruch{1}{n}+\bruch{1}{l}= [/mm] d(m,n)+d(m,l)
4. n=m=l=1
d(m,l)=0 [mm] \le [/mm] 0+0 = d(m,n)+d(n,l)
so das wäre mein Ansatz, mich irritiert die Frage, ob [mm] (\IN,d) [/mm] ein metrischer Raum ist. Ich denke eigentlich schon, weil alle Metrikeigenschaften erfült sind, stimmt das??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Di 07.05.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Sei [mm]X=\IN[/mm] mit
> [mm]d(m,n)=\begin{cases}|\bruch{1}{n}- \bruch{1}{m}| , & \mbox{falls } n \not= 1, m \not= 1 \\ \bruch{1}{m}, & \mbox{falls} n = 1, m \not= 1 \\ \bruch{1}{n}, & \mbox{falls } n \not= 1, m=1 \\ 0, & \mbox{falls } n=m=1\end{cases}[/mm]
>
> Ist [mm](\IN,d)[/mm] ein metrischer Raum?
> So ich habe dann alle Metrikeigenschaften geprüft:
> 1. Definitheit:
> [mm]d(m,n)=|\bruch{1}{n}- \bruch{1}{m}|\ge[/mm] 0
> [mm]d(m,n)=|\bruch{1}{n}- \bruch{1}{m}|=[/mm] 0 [mm]\gdw \bruch{1}{n}=\bruch{1}{m}[/mm]
>
Hier hast Du nur den Fall m [mm] $\not=$ [/mm] 1 und n [mm] $\not=$ [/mm] 1 geprüft.
Die anderen fehlen noch.
> 2. Symmetrie:
> [mm]d(m,n)=|\bruch{1}{n}- \bruch{1}{m}|=|\bruch{1}{m}- \bruch{1}{n}|=d(n,m)[/mm]
>
Auch hier müssten noch die Fälle m = 1, n [mm] $\not=$ [/mm] 1 und m [mm] $\not=$ [/mm] 1, n = 1
und n = 1, m = 1 geprüft werden.
> 3. Dreiecksungleichung:
> 1. [mm]n\not=1, m\not=1, l\not=1[/mm]
> [mm]d(m,l)=|\bruch{1}{m}- \bruch{1}{l}|= |\bruch{1}{m}- \bruch{1}{n}+\bruch{1}{n}- \bruch{1}{l}| \le |\bruch{1}{m}- \bruch{1}{n}|+ |\bruch{1}{n}- \bruch{1}{l}|[/mm]
> = d(m,n)+d(n,l)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2. n=1, [mm]m\not=1, l\not=1[/mm]
> d(n,l)= [mm]\bruch{1}{l}\le \bruch{1}{m}+\bruch{1}{l}=[/mm]
> d(m,n)+d(l,n)
zu zeigen wäre doch: d(n,l) [mm] $\le$ [/mm] d(m,n) + d(m,l)
>
> 3. [mm]n\not=1,[/mm] m=1, [mm]l\not=1[/mm]
> d(n,l)= [mm]\bruch{1}{l}\le \bruch{1}{n}+\bruch{1}{l}=[/mm]
> d(m,n)+d(m,l)
d(n,l) = | [mm] $\bruch{1}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{l}$|
[/mm]
d(m,n)+d(m,l) = [mm] \bruch{1}{n} +\bruch{1}{l}
[/mm]
>
> 4. n=m=l=1
> d(m,l)=0 [mm]\le[/mm] 0+0 = d(m,n)+d(n,l)
>
> so das wäre mein Ansatz, mich irritiert die Frage, ob
> [mm](\IN,d)[/mm] ein metrischer Raum ist. Ich denke eigentlich
> schon, weil alle Metrikeigenschaften erfült sind, stimmt
> das??
Ja, wenn alle Metrikeigenschaften erfüllt sind, ist [mm] $(\IN,d)$ [/mm] ein metrischer Raum.
>
Gruß
meili
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