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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Do 28.04.2005 | | Autor: | sachmeth |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallöle, hab folgende Aufgabe von der ich leider nicht wirklich einen Plan habe.
Seinen A und B metrische Räume und sei f: A [mm] \toB [/mm] stetig. Weiterhin sei A zusammenhängend. Zú Zeigen ist das dann f(A) zusammenhängend ist.
Das Habe ich mir überlegt:
Stetigkeit bedeutet das f:A [mm] \toB [/mm] genau dann stetig ist wenn für jede offene Menge C [mm] \subset [/mm] B das Urbild von C offen ist.
Wenn ich nun das Gegegnteil der Behauptung annehme, also das f( A )nicht zusammenhängend ist, wie kann ich dann die obige Aussage für den Beweis benutzen.. ich denke zumindest, das man es irgendwie so machen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Do 28.04.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
dein Ansatz ist gar nicht so falsch, denke ich.
Ich denke mal du meinst [mm]f: A \to B[/mm] sei stetig und $A$ zusammenhängend.
> Das Habe ich mir überlegt:
> Stetigkeit bedeutet das f:A [mm]\toB[/mm] genau dann stetig ist
> wenn für jede offene Menge C [mm]\subset[/mm] B das Urbild von C
> offen ist.
>
> Wenn ich nun das Gegegnteil der Behauptung annehme, also
> das f( A )nicht zusammenhängend ist, wie kann ich dann die
> obige Aussage für den Beweis benutzen.. ich denke
> zumindest, das man es irgendwie so machen kann.
Machen wir doch hier weiter: Angenommen $f(A)$ ist nicht zusammenhängend. Das bedeutet, es gibt offene Mengen $A, B [mm] \subset [/mm] f(A)$ so dass $A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset$ [/mm] und $A [mm] \cup [/mm] B = f(A)$
Da $f$ stetig, wissen wir: [mm] $f^{-1}(A)$ [/mm] und [mm] $f^{-1}(B)$ [/mm] sind offen und da $A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset$ [/mm] folgt auch [mm] $f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)= \emptyset$ [/mm] (sonst bekommst du einen Widerspruch, mach es dir mal klar!) und da $A [mm] \cup [/mm] B = f(A)$ folgt, dass wir eine Zerlegung von $A$ in zwei offene disjunkte Mengen haben. Das kann nicht sein, da $A$ nach Voraussetzung zusammenhängend ist!
Hat dir das geholfen? Melde doch bitte mit Rückfragen, falls es nicht klar ist!
Viele Grüße
Astrid
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 11:19 Sa 30.04.2005 | | Autor: | sachmeth |
Hallo Astrid,
vielen Dank erst mal für deine schnelle Antwort.
Eigentlich hab ich die Aufgabe jetzt im groben eingesehen. Trotzdem hätte ich da noch 2 Fragen: Wenn die Urbilder von den Teilmengen offen sind und der Durchschnitt der Mengen die leere menge war, gilt dann immer das der Durchschnitt der Urbilder auch die leere Menge ist?
Wenn A [mm] \cup [/mm] B= f (A) ist, warum kann ich dann schließen dass die Urbilder von A und B als Vereinigung ganz A ist? Müsste dafür f nicht bijektiv sein??
Ich hoffe, dass Du mir hier weiterhelfen kannst!
So, als wenn ich Dich nicht schon genug genervt hätte mit meinen metrischen Räumen (ich hasse dieses Kapitel!) hab ich da gleich noch eine Aufgabe, bei der ich nicht wirklich einen Unterschied zur oberen feststellen kann:
Seien X,Y metrische Räume (... wer hätte es gedacht?!).. Eine Abbildung f: X Y heißt Homoeomorphismus , falls f stetig und bijektiv ist, es gibt eine Umkehrabb. Die ebenfalls stetig ist.
1. Seien X,Y metr.Räume und f: X [mm] \to [/mm] Y ein Homeomorphismus. Zu zeigen: X ist genau dann zusammenhängend wenn Y zusammenhängend ist.
Also muss ich 2 Richtungen zeigen.
[mm] \Rightarrow Aus [/mm] X ist zusammnehängend folgt Y zusamm.
Annahme: Y ist nicht zusammenh. Es gibt also 2 offene Teilmengen A,B von Y deren Schnitt die leere Menge ist und die vereinigt Y ergeben. Da f stetig und bijektiv existiert eine Umkehrabb. Sodass die Urbilder von A und B in X enthalten, sie sind offen mit leeren Schnitt. Damit wird X aber doch wie in der obigen Aufg. In 2 disjunkte Teilmengen zerlegt, wäre aber damit nicht zusammenhängend.Wid. zur Vorraussetzung das X zusamm. Ist, also ist Annahme falsch, also Y zusammenhängend. Reicht das?? Hier ist f ja bijektiv, also wäre mir das so logisch, dass der Schnitt von den Urbildern A und B die leere Menge ist und sie ganz X darstellen.
[mm] \Leftarrow Aus [/mm] Y zusamm. Folgt X zusammenhängend
Annahme: X nicht zusammenhängend. (ich liebe Widerspruchsbeweise*grins)
Es gibt also 2 offene Teilmengen A,B von X mit leeren Schnitt die vereinigt X ergeben. Da f bijektiv werden die Mengen nach Y abbgebildet, ihr Bild sind wiederum offene Mengen mit leeren Schnitt und somit wäre Y nicht zusammenhängend. Widerspruch also ist X zusammenhängend. Stimmt das so?
Ich hoffe, das ich deine Nerven jetzt nicht zu sehr überanstrengt hab.
Ein wunderschönes Wochenende trotzdem noch
Sachmeth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:25 Mi 04.05.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Sachmeth!
Wir bedauern, dass Deine Frage nicht in der von dir eingestellten Fälligkeitszeit beantwortet wurde.
Der wahrscheinlichste Grund dafür ist, dass ganz einfach niemand, der dir hätte helfen können, im Fälligkeitszeitraum online war. Bitte bedenke, dass jede Hilfe hier freiwillig und ehrenamtlich gegeben wird.
Wie angekündigt gehen wir nun davon aus, dass du an einer Antwort nicht mehr interessiert bist. Die Frage taucht deswegen nicht mehr in der Liste der offenen Fragen, sondern nur noch in der Liste der Fragen für Interessierte auf.
Falls du weiterhin an einer Antwort interessiert bist, stelle einfach eine weitere Frage in dieser Diskussion.
Wir wünschen dir beim nächsten Mal mehr Erfolg! ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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