Metrischer Raum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Sa 28.04.2007 | | Autor: | sca |
| Aufgabe | Sei X eine Menge. Wir definieren eine Abbildung
d : X ×X →[0, [mm] \infty [/mm] ), d(x, y) = [mm] $\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=y\mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x \not= y \mbox{ } \end{cases}$
[/mm]
Man zeige, dass d eine Metrik ist. Bestimmen Sie außerdem die Menge der stetigen
[mm] \IR-wertigen [/mm] Funktionen auf X.
b) Sei X,d ein metrischer Raum und d′ : X ×X [mm] \to [/mm] [0, [mm] \infty [/mm] ) definiert durch
d′(x, y) [mm] =\bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)} [/mm] .
Beweisen Sie, dass d′ wieder eine Metrik ist. Unterscheiden sich konvergente Folgen bezüglich d von denen bezüglich d′? |
Hi!
Das ist meine erste Frage hier. Ich hoffe auf Ihre Hilfe :)
1. I weiss, wie kann man zeigen, dass diese Menge eine Metrik ist. Aber ich habe leider keine Ahnung über die Frage
Bestimmen Sie außerdem die Menge der stetigen [mm] \IR-wertigen [/mm] Funktionen auf X.
wie sieht das aus?
2. Über das Punkt (b) - Muss hier auch einfach die Eingeschaften vom Metrische Raum überprüfen?
3. Unterscheiden sich konvergente Folgen bezüglich d von denen bezüglich d′?
Verstehe ich leider nicht, was muss ich nämlich machen ... und ich brauche ein Vorsagen.
Vielen Dank :)
Lena
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:00 Sa 28.04.2007 | | Autor: | komduck |
Du kannst zum Beispiel untersuchen wie offene Mengen aussehen.
Also wie sieht eine offene [mm] \varepsilon [/mm] Kugel mit [mm] \varepsilon [/mm] = 1/2 aus?
Hiervon beliebige Vereinigungen sind wieder offen. Ein Funktion
ist stetig wenn das Urbild einer offenen Menge offen ist.
Du kannst aber auch untersuchen welche Folgen konvergieren.
Für b einfache alle Eigenschaften einer Metrik nachprüfen.
Dann schnappst du dir eine konvergente Folge für die eine
Metrik und zeigst, daß sie auch konvergent mit der anderen Metrik ist.
Und das gleiche nochmal mit vertauschten Metriken.
komduck
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 So 29.04.2007 | | Autor: | sca |
| Aufgabe | Also wie sieht eine offene $ [mm] \varepsilon [/mm] $ Kugel mit $ [mm] \varepsilon [/mm] $ = 1/2 aus?
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Danke... aber ich vershehe leider sowieso nicht alles. In Vorlesungen waren nur Eingeschaften vom Metrik und ein Satz über ein Norm.
Wahrscheinlich mangelt es mir an Grundkenntnisse :(
B (x,y) := (y [mm] $\in$ [/mm] X | d(x,y) < r ) das ist offene Kugel
[mm] [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U : [mm] \exists [/mm] $ [mm] \varepsilon [/mm] $>0 : B(x, $ [mm] \varepsilon [/mm] $) $ [mm] \subseteq [/mm] $ U
und für [mm] \varepsilon [/mm] = 1/2 kann man einfach diese Wert einsetzen.
Und wird dieser Ausdruck einem Antwort?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 So 29.04.2007 | | Autor: | komduck |
Das ist genau richtig eine offene Kugel ist die Menge:
B (x,r) := [mm] \{ y \in X | d(x,y) < r \}
[/mm]
Wenn wir 1/2 einsetzen erhalten wir
[mm] \{ y \in X | d(x,y) < 1/2\} [/mm] weil d(x,y) aber nur Werte aus [mm] \{ 0, 1 \}
[/mm]
annimmt ist es gleich:
[mm] \{ y \in X | d(x,y) = 0 \} [/mm] da es keine verschiedenen Punkte mit Abstand 0 gibt:
B(x,1/2) = [mm] \{ x \} [/mm] das bedeutet einelementige Mengen sind offen, da beliebige
Vereinigungen offener Menge offen sind folgt alle Teilmengen von X sind
offen. Ein [mm] \IR [/mm] wertige Funktion ist stetig wenn das Urbild einer offenen
Menge offen ist. Da aber in X alle Mengen offen sind, sind alle Funktionen
stetig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 So 29.04.2007 | | Autor: | sca |
| Aufgabe | Dann schnappst du dir eine konvergente Folge für die eine
Metrik und zeigst, daß sie auch konvergent mit der anderen Metrik ist. |
Ich kann leider das nicht schafen (...
z.B. [mm] [mm] x^{n}/(1-x^{n}) [/mm] ...solsche Folge?
eine nicht matematische Frage :) Warum in (a) steht "zeigen", aber in (b) "beweisen"? Ob das die gleiche Aktionen sind?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 So 29.04.2007 | | Autor: | sca |
| Aufgabe | Dann schnappst du dir eine konvergente Folge für die eine
Metrik und zeigst, daß sie auch konvergent mit der anderen Metrik ist.
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[mm] [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{n}} \bruch{|x-y|}{1+|x-y|}< \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{n}} [/mm] = 1 < [mm] \infty
[/mm]
Die angegebene Reihe ist nach dem Majorantenkriterium absolut konvergent.
Jetzt kann man mit dem ersten Metrik Konvergenz zeigen.
Ob diese Richtung richtig ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 So 29.04.2007 | | Autor: | komduck |
>
> [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{n}} \bruch{|x-y|}{1+|x-y|}< \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{n}} [/mm] = 1 < [mm] \infty
[/mm]
In einem allgemeinem metrischem Raum kann man nicht rechnen. Man hat nur
die Metrik, Folgen, Funktionen die stetig oder unstetig sind, offene oder
abgeschlossene Mengen verwenden.
Wenn wir Aussagen über alle metrischen Räume machen können wir nur die
Dinge verwenden die es in allen metrischen Räume gibt. Diese gelten
dann natürlch auch metrischen Räume in denen man rechnen kann.
Wenn man zeigen will, daß eine Aussage nicht in allen metrischen Räume
dann recht es einen Beispielraum zu finden in dem die Aussage nicht
gilt. Hier könnte man z.B die reelen Zahlen nehmen und dann kann
man da auch rechen.
komduck
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 So 29.04.2007 | | Autor: | komduck |
Sei [mm] x_{n} [/mm] eine beliebige Folge die bezüglich d gegen x konvergiert:
Für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gilt: es gibt ein k sodaß für alle n > k gilt:
[mm] d(x_{n},x) [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Wie wollen zeigen das [mm] x_{n} [/mm] auch konverent bezüglich d' ist
Weil [mm] x_{n} [/mm] konvergent bezüglich d ist gilt
[mm] d(x_{n},x) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] also gilt:
[mm] d'(x_{n},x) [/mm] = [mm] \bruch {d(x_{n},x)}{1+d(x_{n},x)} [/mm] < [mm] d(x_{n},x) [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Die andere Richtung:
Zuerst kann man die Gleichunso umformen:
[mm] d(x_{n},x) [/mm] = [mm] \bruch{d'(x_{n},x)}{1-d'(x_{n},x)}
[/mm]
sei [mm] \varepsilon [/mm] belibig wir müssen ein k finden sodaß für alle n > k gilt:
[mm] d(x_{n},x) [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Wenn wir das k genau passend zu diesem [mm] \varepsilon [/mm] wählen würden
sodaß [mm] d'(x_{n},x) [/mm] < [mm] \varepsilon, [/mm] dann hilft uns das nichts. Da wir aber
für jedes [mm] \varepsilon [/mm] ein k finden mit [mm] d'(x_{n},x) [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
finden wir auch ein k sodaß [mm] d'(x_{n},x) [/mm] < Minimum [mm] \{ \bruch{1}{2} , \bruch{\varepsilon}{2}\}
[/mm]
nun gilt:
[mm] d'(x_{n},x) [/mm] < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] => [mm] \bruch{1}{1-d'(x_{n},x)} [/mm] < 2
und weil [mm] d'(x_{n},x) [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
folgt:
[mm] \bruch{d'(x_{n},x)}{1-d'(x_{n},x)} [/mm] < 2 [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
also gilt:
[mm] d(x_{n},x) [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 So 29.04.2007 | | Autor: | sca |
super Dank :))
ich hoffe, dass ich jetzt ähnliche Aufgaben selbst lösen kann...
Lena
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