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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 So 04.12.2005 | | Autor: | Franzie |
Guten Abend alle zusammen!
Hab mal ne Frage zu folgender Ausgabe:
Für x,y und eine injektive Funktion [mm] f:\IR \to \IR [/mm] sei
d1:= [mm] \wurzel{ | x^{2} - y^{2} |} [/mm] und ich soll untersuchen, ob es sich bei [mm] (\IR [/mm] , d1) um einen metrischen Raum handelt. Also die ersten 2 Eigenschaften eines metrischen Raumes zu zeigen, also
1) x=y [mm] \gdw [/mm] d(x,y)=0 und
2) d(x,y)=d(y,x) ist eigentlich klar, aber ich hänge bei der Dreiecksungleichung, wo ich zeigen muss
d(x,y) [mm] \le [/mm] d(x,z) + d(z,y). Ich weiß jetzt nicht genau, wie ich ein z wählen muss. Hab noch andere solche Beispiele, wäre lieb, wenn es mir jemand an diesem hier erläutern könnte, damit ich die restlichen alleine hinkriege.
liebe Grüße
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Hallo,
deine Behauptung folgt direkt aus der Minkowski'schen Ungleichung:
[mm] d(x,y)=\wurzel{|x^{2}-y^{2}|} [/mm] |Addition der 1
[mm] =\wurzel{|x^{2}-y^{2}+z^{2}-z^{2}|} [/mm] |Dreiecksungleichung
[mm] \le\wurzel{|x^{2}-z^{2}|+|z^{2}-y^{2}|} [/mm] |Minkowski
[mm] \le\wurzel{|x^{2}-z^{2}|}+\wurzel{|z^{2}-y^{2}|} [/mm]
[mm] \le [/mm] d(x,z)+d(z,y)
und du bist fertig.
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