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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 So 15.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Seien [mm] (X_{1},d_{1}) [/mm] und [mm] (X_{2},d_{2}) [/mm] zwei metrische Räume. Sei A [mm] \subset X_{1} \times X_{2} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] ein beliebiges Element aus [mm] X_{2}.
[/mm]
a) Man zeige: Aus A [mm] \subset X_{1} \times X_{2} [/mm] offen folgt, dass [mm] P_{x2}(A):=\{x \in X_{1}:(x,x_{2}) \in A\} \subset X_{1} [/mm] offen ist in [mm] X_{1}. [/mm] |
Guten Tag^^
Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht mehr weiter.
Ich habe so angefangen:
Zunächst einmal ist [mm] X=(X_{1} \times X_{2},d) [/mm] ein metrischer Raum.
A [mm] \subset X_{1} \times X_{2} [/mm] ist offen, d.h. Int(A)=A und jede Epsilon-Kugel um einen Punkt in A liegt wieder in A, d.h. [mm] K((x_{1},x_{2});\varepsilon) \subseteq [/mm] A.
Zu zeigen ist,dass [mm] Int(X_{1})=X_{1}.
[/mm]
Sei also x [mm] \in X_{1}, [/mm] sodass [mm] (x,x_{2}) \in [/mm] A. Dann ist [mm] K((x,x_{2}),\varepsilon) \subset [/mm] A. Und es ist A [mm] \subset X_{1} \times X_{2}. [/mm] Daraus folgt [mm] K((x,x_{2}),\varepsilon) \subset X_{1} \times X_{2}.
[/mm]
Folgt jetzt nicht schon, dass dann [mm] K(x;\varepsilon) \subset X_{1} [/mm] ist ?
Ich würde es jetzt so begründen: Jedes Epsilon-Kugel um ein Paar [mm] (x_{1},x_{2}) [/mm] liegt wieder in A. Das heißt wenn ich ein Element [mm] x_{1} [/mm] aus [mm] X_{1} [/mm] nehme, welches als Paar mit einem Element [mm] x_{2} [/mm] aus [mm] X_{2} [/mm] in A liegt, dann muss die Epsilon Kugel [mm] K(x_{1},\varepsilon) [/mm] wieder in [mm] X_{1} [/mm] liegen.
Die Behauptung ist mir schon klar, nur beim formalen Beweis bin ich mir unsicher.
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 So 15.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm](X_{1},d_{1})[/mm] und [mm](X_{2},d_{2})[/mm] zwei metrische
> Räume. Sei A [mm]\subset X_{1} \times X_{2}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] ein
> beliebiges Element aus [mm]X_{2}.[/mm]
>
> a) Man zeige: Aus A [mm]\subset X_{1} \times X_{2}[/mm] offen folgt,
> dass [mm]P_{x2}(A):=\{x \in X_{1}:(x,x_{2}) \in A\} \subset X_{1}[/mm]
> offen ist in [mm]X_{1}.[/mm]
> Guten Tag^^
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht mehr weiter.
> Ich habe so angefangen:
>
> Zunächst einmal ist [mm]X=(X_{1} \times X_{2},d)[/mm] ein
> metrischer Raum.
Was ist denn d ?
> A [mm]\subset X_{1} \times X_{2}[/mm] ist offen, d.h. Int(A)=A und
> jede Epsilon-Kugel um einen Punkt in A liegt wieder in A,
> d.h. [mm]K((x_{1},x_{2});\varepsilon) \subseteq[/mm] A.
>
> Zu zeigen ist,dass [mm]Int(X_{1})=X_{1}.[/mm]
Hä ? [mm] X_1 [/mm] ist doch offen !!! Es geht doch um [mm] P_{x_2}(A)
[/mm]
>
> Sei also x [mm]\in X_{1},[/mm] sodass [mm](x,x_{2}) \in[/mm] A. Dann ist
> [mm]K((x,x_{2}),\varepsilon) \subset[/mm] A. Und es ist A [mm]\subset X_{1} \times X_{2}.[/mm]
> Daraus folgt [mm]K((x,x_{2}),\varepsilon) \subset X_{1} \times X_{2}.[/mm]
>
> Folgt jetzt nicht schon, dass dann [mm]K(x;\varepsilon) \subset X_{1}[/mm]
> ist ?
>
> Ich würde es jetzt so begründen: Jedes Epsilon-Kugel um
> ein Paar [mm](x_{1},x_{2})[/mm] liegt wieder in A. Das heißt wenn
> ich ein Element [mm]x_{1}[/mm] aus [mm]X_{1}[/mm] nehme, welches als Paar mit
> einem Element [mm]x_{2}[/mm] aus [mm]X_{2}[/mm] in A liegt, dann muss die
> Epsilon Kugel [mm]K(x_{1},\varepsilon)[/mm] wieder in [mm]X_{1}[/mm] liegen.
> Die Behauptung ist mir schon klar
das glaube ich nicht
> , nur beim formalen Beweis
> bin ich mir unsicher.
Zu recht.
Mach es so: Def. [mm] $f:X_1 \to X_1 \times X_2$ [/mm] durch [mm] f(x):=(x,x_2)
[/mm]
Dann ist [mm] P_{x_2}(A)=f^{-1}(A)
[/mm]
Wenn Du zeigen kannst, dass f stetig ist, bist Du fertig.
FRED
>
> Vielen Dank
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Di 17.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Fred,
> Mach es so: Def. [mm]f:X_1 \to X_1 \times X_2[/mm] durch
> [mm]f(x):=(x,x_2)[/mm]
>
> Dann ist [mm]P_{x_2}(A)=f^{-1}(A)[/mm]
>
> Wenn Du zeigen kannst, dass f stetig ist, bist Du fertig.
Danke für den Tipp,aber Stetigkeit hatten wir noch nicht. Ich hab die Aufgabe jetzt nochmal gemacht:
Wir wissen dass A offen ist, d.h. Int(A)=A. Zu zeigen ist,dass [mm] P_{x2}(A)=\{x \in X_{1}:(x,x_{2}) \in A \} \subset X_{1} [/mm] offen in [mm] X_{1} [/mm] ist, d.h. dass [mm] Int(P_{x2}(A))=P_{x2}(A).
[/mm]
Jetzt habe ich mir gedacht, zu zeigen,dass [mm] X_{1}-P_{x2}(A) [/mm] abgeschlossen ist in [mm] X_{1}.
[/mm]
Sei also x ein Element aus [mm] X_{1}-P_{x2}(A). [/mm] Wenn ich jetzt zeigen kann, dass in [mm] X_{1}-P_{x2}(A) [/mm] eine konvergente Folge existiert deren Grenzwert dieser Punkt x ist, dann ist die Behauptung bewiesen.
Sei also [mm] \{x_{n}\} [/mm] eine Folge in [mm] X_{1}-P_{x2}(A). [/mm] Ich hab jetzt leider keine Idee wie ich zeigen kann, dass diese Folge gegen x konvergiert.
Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg oder ist das zu umständlich?
Hat jemand eine Idee wie man an die Aufgabe rangeht?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Sa 21.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Vielleicht hilft es dir, wenn du dir ein anschauliches Beispiel hernimmst.
Nimm an, $X_1=X_2=\IR$, dann ist $X_1\times X_2=\IR^2$. Sei nun $A\subset X_1\times X_2=\IR^2$ offen. Wenn nun $(x_1,x_2)\in A$ ein Element dieser offenen Menge ist, dann ist $P_{x_2}}(A)$ die Menge aller Punkte in $A$, deren $y$-Koordinate gleich $x_2$ ist, also alle Punkte in $A$, die auf der Geraden $(x,x_2)$, $x\in \IR$ liegen. Kannst du folgern, dass die Menge dieser Punkte, also $A\cap \{(x,x_2)\mid x\in\IR\}$ offen in $X_1=\IR$ ist?
Denn wenn du eine Gegenbeispiel angeben kannst, dann ist die Aussage auch für beliebige $X_1$, $X_2$ falsch. Ist sie aber für diesen Spezialfall richtig, kannst du versuchen, sie für den allgemeinen Fall zu zeigen.
Viele Grüße
Rainer
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