Metrik und Homöomorphismus < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:22 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Gnometech |
Gruss an alle!
Diese Aufgabe ist momentan unsere "Aufgabe der Woche" im Büro - wir denken, dass wir eine Lösung haben, aber ich möchte niemandem vorenthalten, selbst darüber nachzudenken.
Also:
Gibt es einen metrischen Raum $X$ und eine stetige Bijektion $f: X [mm] \to [/mm] X$, die kein Homöomorphismus ist (d.h. die Umkehrabbildung ist nicht stetig?)
Dazu als Anmerkung: das klassische Beispiel für dieses Phänomen ist die Abbildung $g: [0, [mm] 2\pi [/mm] [ [mm] \to S^1$ [/mm] mit $g(x) = [mm] e^{ix}$. [/mm] Diese Abbildung ist stetig und bijektiv, aber die Umkehrabbildung ist nicht stetig - kann es gar nicht sein, denn das halboffene Intervall ist einfach zusammenhängend und die Kreislinie ist es nicht.
Zudem gibt es in der Topologie einen Satz: falls $f: X [mm] \to [/mm] Y$ eine stetige Bijektion von topologischen Räumen ist und $X$ quasi-kompakt ist (d.h. jede offene Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung) und $Y$ ein Hausdorff-Raum, dann ist $f$ bereits ein Homöomorphismus.
Damit darf der metrische Raum $X$ aus der Aufgabe (der ja in jedem Fall Hausdorff ist) nicht kompakt sein.
Ideen? 
Lars
|
|
| |
|
Hallo Lars,
zuerst dachte ich, eine stetige Bijektion auf X muss ein Homöomorphismus sein, aber ich hab beim Beweis von dieser Annahme herausgefunden, wie die Funktion aussehen muss, damit die Umkehrfunktion unstetig ist.
Deshalb:
Es gibt eine stetige, bijektive Abbildung f auf X, deren Umkehrabbildung nicht stetig ist. Somit ist f kein Homöomorphismus.
Sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Cauchy-Folge in X (die nicht notwendigerweise konvergiert). Dann ist aufgrund der Stetigkeit von f auch die Folge der Funktionswerte [mm] (f(x_n))_{n\in\IN} [/mm] eine Cauchy-Folge in X.
Da [mm]g\circ f[/mm] die Identität auf X ist, muss [mm]g\circ f[/mm] jeder Cauchy-Folge wieder eine Cauchy-Folge sein. Das bedeutet, jede Cauchy-Folge [mm] (x_n) [/mm] hat als Bild unter f eine Cauchy-Folge [mm] (y_n), [/mm] so dass man mit ihr nichts über die Stetigkeit von [mm] f^{-1} [/mm] aussagen kann.
Man kann aber die Stetigkeit von g ausschließen, wenn man eine bijektive, stetige Funktion f findet, die eine Nicht-Cauchy-Folge auf eine Cauchy-Folge abbildet. Der Rückweg ist kann dann nur über eine unstetige Funktion gehen.
Wir brauchen ein X, das aus zwei Teilen besteht, und zwar aus einem unbeschränkten Teil und einem Cauchy-Folgen-Anteil, zum Beispiel
X := [mm] \{n:n\in\IN\} \cup \{1/n:n\in\IN\} \subset \IR [/mm] und
f(x) := [mm]\begin{cases}
\frac{1}{(2/x)-1}&\mathrm{falls\ x<1}\\
\frac{1}{x+1}&\mathrm{falls\ x\ge1\ ungerade}\\
\frac{x}{2}&\mathrm{falls\ x\ge1\ gerade}
\end{cases}[/mm]
Das heißt:
f(2)=1, f(4)=2, f(6)= 3 usw. also sind alle natürlichen Zahlen im Bild von f,
f(1)=1/2, f(3)=1/4, f(5)=1/6 usw. alle Brüche mit geradem und
f(1/2)=1/3, f(1/3)=1/5, f(1/5)=1/7 usw. ungeradem Nenner im Bild von f.
Offensichtlich kommt kein Wert doppelt vor und damit ist f bijektiv.
Stetig ist f, weil alle Cauchy-Folgen in X auch als Bild eine Cauchy-Folge besitzen.
Aber betrachten wir die Folge [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] = 2n-1. Das ist keine Cauchy-Folge, hat aber als Bild die Cauchy-Folge 1/2n. Damit ist gezeigt, dass diese Cauchy-Folge durch [mm] f^{-1} [/mm] auf eine Nicht-Cauchy-Folge abgebildet werden muss.
[mm] f^{-1} [/mm] kann damit nicht stetig sein.
Ist das ok so?
Hugo
|
|
|
| |
|
Hallo Hugo!
Interessante Loesung! Leider ist das in Deinem Beispiel angegebene [mm] $f^{-1}$ [/mm] doch stetig - denn $X$ ist diskret und damit ist JEDE Abbildung von $X$ irgendwohin stetig.
Formal liegt das daran, dass keine Cauchy-Folge konvergent ist.
Aber durch eine sehr geringe Modifikation kann man es retten: fuege einfach die 0 hinzu und bilde die unter $f$ auf sich ab. Das tut der Stetigkeit von $f$ keinen Abbruch, aber [mm] $f^{-1}$ [/mm] ist unstetig bei 0, da die Folge der Stammbrueche auf eine nicht konvergente (sogar unbeschraenkte) Folge abgebildet wird.
Insofern: ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Dies ist sogar noch leichter als das Beispiel was wir hatten... wir haben uns abzaehlbar viele Kopien von [mm] $\IR$ [/mm] genommen und die natuerlichen Zahlen und es darueber gebastelt - prinzipiell aehnlich, aber Deine Loesung gefaellt mir besser!
Lars
|
|
|
| |
|
Hallo Lars,
du hast vollkommen recht mit deinem Einwand. Trotzdem finde ich es gut, dass ich auf eine relativ simple Lösung gekommen bin. ![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
Allerdings hab ich vorher genau das Gegenteil beweisen wollen und nur weil ich da auf keinen grünen Zweig gekommen bin, hab ich mir gedacht, dass es wohl doch solche Nicht-Homöomorphismen geben muss.
Hugo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:18 So 08.05.2005 | | Autor: | jeff |
Hallo Lars,
ich habe diene Frage gelesen, die du vor 3 Monaten gestelt hasst und bei mir hat sich da eine Frage gestellt, die ich nicht beantworten kann, aber von der Thematik zu zu deiner Frage passt.
Was ist wenn M ein kompakter Hausdorfraum ist, E ist auch ein Hausdorffraum und f eine stetige, bijektive Abbildung von M nach E. Ist die Umkehrfunktion dann auch stetig??
Hasst du da eine Idee
|
|
|
|
![[wein]](/images/smileys/wein.gif "[wein]"){kind=small}
