Metrik offene Menge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Menge Q := {(x1, x2) ∈ [mm] R^{2}: [/mm] x1 > 0, x2 > 0} in [mm] R^{2} [/mm] bezüglich der euklidischen Metrik offen ist, und bestimmen Sie den Rand ∂Q.
(b) Sei X eine Menge. X werde mit der diskreten Metrik versehen (d.h. d(x, y) =1
für x [mm] \not= [/mm] y, d(x, x) = 0). Zeigen Sie, dass jede Teilmenge von X offen und jede Teilmenge von X abgeschlossen ist |
Hallo ihr Lieben
zu a) Ich habe mir die Menge skizziert und sieht folgendermaßen aus. Es ist der positive [mm] R^{2} [/mm] ohne die x-Achse und y-Achse und die 0.
Sei [mm] A=min(|x_{1}|,|x_{2}|) [/mm] wähle [mm] \varepsilon=1/2*A. [/mm] Jetzt muss ich zeigen, dass die Kugel mit Radius [mm] \varepsilon [/mm] Teilmenge von Q ist. Anschaulich ist es klar nur schaffe ich es nicht es formal hinzuschreiben. Der Rand ist die x-achse vereinigt mit der y-Achse. Wie zeigt man dass der Rand einer Menge ein Rand ist?
b) lass ich erstmal außen vor da ich gerne erst a) bearbeiten möchte
mfg zahlenfreund
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Sa 16.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass die Menge $Q := [mm] \{(x1, x2) \in \IR^{2}: x1 > 0, x2 > 0\}$ [/mm] in [mm]R^{2}[/mm] bezüglich der euklidischen Metrik
> offen ist, und bestimmen Sie den Rand ∂Q.
> Hallo ihr Lieben
>
> zu a) Ich habe mir die Menge skizziert und sieht
> folgendermaßen aus. Es ist der positive [mm]R^{2}[/mm] ohne die
> x-Achse und y-Achse und die 0.
also der erste Quadrant, aus dem man "den Strahl von $(0,0)$ nach [mm] $(\infty,0)$"
[/mm]
und "den Strahl von $(0,0)$ nach [mm] $(0,\infty)$" [/mm] entfernt hat.
("Erster Strahl" genauer beschrieben: [mm] $\{(x,y) \in \IR^2 \mid (x,y)=(0,0)+r*(1,0);\;\; r \ge 0\}=\{(x,0) \mid x \ge 0\}$.)
[/mm]
Das, was Du sagst, ist auch okay - ich beschreibe nur den Teil der x-Achse
bzw. der y-Achse, der relevant ist, genauer!
> Sei [mm]A=min(|x_{1}|,|x_{2}|)[/mm] wähle [mm]\varepsilon=1/2*A.[/mm] Jetzt
> muss ich zeigen, dass die Kugel mit Radius [mm]\varepsilon[/mm]
> Teilmenge von Q ist. Anschaulich ist es klar nur schaffe
> ich es nicht es formal hinzuschreiben.
Ich schreibe [mm] $a=x_1$ [/mm] und [mm] $b=x_2\,.$ [/mm] Für $(a,b) [mm] \in [/mm] Q$ gilt eh schon sowohl $a > [mm] 0\,$ [/mm] als
auch $b > [mm] 0\,.$
[/mm]
Sei also [mm] $A:=\min\{a,b\}\,.$ [/mm] (Du kannst auch A halbieren, wie Du es getan hattest).
Dann ist
[mm] $B:=B_A((a,b))=:B_A(a,b):=\{\;(x,y) \in \IR^2 \mid \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < A\;\}$.
[/mm]
Für $(x,y) [mm] \in [/mm] B$ folgt
(*) [mm] $(x-a)^2+(y-b)^2 [/mm] < [mm] A^2$.
[/mm]
Wir wollen $(x,y) [mm] \in [/mm] Q$ folgern - d.h. es ist zu zeigen, dass sowohl $x > [mm] 0\,$ [/mm] als
auch $y > [mm] 0\,$ [/mm] gelten!
1. Fall: Angenommen, es wäre $x [mm] \le 0\,.$ [/mm] Dann ist $x-a [mm] \le [/mm] -a$ bzw.
$a-x [mm] \ge a\,.$
[/mm]
Da beide Seiten > 0 sind, folgt (beachte [mm] $[0,\infty) \ni [/mm] x [mm] \longmapsto x^2$ [/mm] ist [streng] wachsend)
[mm] $(a-x)^2 \ge a^2\,.$
[/mm]
Es folgt
[mm] $(a-x)^2 \ge a^2 \ge A^2\,.$
[/mm]
Das verträgt sich aber nicht mit (*)!
Analog siehst Du für $(x,y) [mm] \in B=B_A(a,b)$ [/mm] auch $y > [mm] 0\,$ [/mm] ein. Also gilt $x > 0$ UND $y > [mm] 0\,,$
[/mm]
so dass schlussendlich
$(x,y) [mm] \in Q\,.$
[/mm]
(Es wurde gezeigt: $(x,y) [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] Q$, und damit
$B [mm] \subseteq Q\,,$
[/mm]
weil das für alle $(x,y) [mm] \in [/mm] B$ (also jedes beliebige $(x,y) [mm] \in [/mm] B$) gilt!)
> Der Rand ist die
> x-achse vereinigt mit der y-Achse.
Nein, sondern nur der Teil, der "auch den ersten Quadranten umrandet".
Also
[mm] $\partial Q=\{(x,0) \mid x \ge 0\} \cup \{(0,y) \mid y > 0\}$
[/mm]
(rechts könntest Du auch $y [mm] \ge [/mm] 0$ schreiben).
> Wie zeigt man dass der
> Rand einer Menge ein Rand ist?
Welche Definition habt ihr denn? Möglich wäre folgendes:
Zeige, dass der Abschluss von Q - im Zeichen [mm] $\overline{Q}$ [/mm] - durch
[mm] $\{(x,y) \in \IR^2 \mid x,y \ge 0\}$ [/mm] (letzteres meint $x [mm] \ge [/mm] 0$ UND $y [mm] \ge [/mm] 0$)
gegeben ist.
(Der Abschluss ist die Menge vereinigt mit ihren Häufungspunkten. Zeige
dann: Wenn wir eine Folge [mm] $(x_n,y_n)$ [/mm] aus Q hernehmen, die in [mm] $\IR^2$ [/mm] einen
Grenzwert [mm] $(x_\infty,y_\infty)$ [/mm] hat, erfüllt dieser notwendigerweise [mm] $x_\infty,y_\infty\;\ge\;0$. [/mm] Daraus
folgt dann
(I) [mm] $\overline{Q} \subseteq \{(x,y) \in \IR^2 \mid x,y \ge 0\}\,.$
[/mm]
Für [mm] $\supseteq$ [/mm] in (I): $(0,0) [mm] \in \overline{Q}$ [/mm] folgt etwa, indem Du entlag der Diagonalen des
ersten Quadranten dorthin läufst. (Gib eine geeignete Folge an!)
Für [mm] $(x_0,0) \in \overline{Q}$: [/mm] Laufe auf "dem Strahl von [mm] $(x_0,0)$ [/mm] in Richtung [mm] $(x_0,\infty)$" [/mm] auf
diesen Punkt zu!
Für [mm] $(0,y_0)$ [/mm] mit [mm] $y_0 [/mm] > 0$: Laufe auf dem Teil dieser Geraden, parallel zur
x-Achse, der im ersten Quadranten liegt, auf den Punkt zu [ohne diesen bei
der Folge zu benutzen].)
Zeige, dass $Q$ offen ist und folgere somit [mm] $Q=Q^o$ [/mm] (Q ist sein eigener innerer
Kern).
Ein Satz Eurer Vorlesung besagt dann hoffentlich
[mm] $\partial Q=\overline{Q} \setminus Q^o$,
[/mm]
hier also
[mm] $\partial Q=\{(x,y) \in \IR^2 \mid x,y \ge 0\} \setminus \{(x,y) \in \IR^2 \mid x,y > 0\}$
[/mm]
Zeige, dass letzteres mit
[mm] $\{(x,0) \mid x \ge 0\} \cup \{(0,y) \mid y > 0\}$
[/mm]
identisch ist!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
