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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Mo 04.03.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | (M,d) metrischer Raum, [mm] A\subseteq [/mm] M , [mm] d_A [/mm] := [mm] d|_{A \times A} [/mm] Metrik auf A.
[mm] (A,d_{A\times A}) [/mm] Metrischer Raum. |
Hallo.
Dies war ein Bsp für metrische Räume. Ich verstehe nicht ganz wieso [mm] (A,d_{A\times A}) [/mm] wieder ein metrischer Raum ist.
Ich hab versucht mit den Axiomen mir das anzusehen - aber es gelingt mir nicht ganz.
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Hallo,
> (M,d) metrischer Raum, [mm]A\subseteq[/mm] M , [mm]d_A[/mm] := [mm]d|_{A \times A}[/mm]
> Metrik auf A.
> [mm](A,d_{A\times A})[/mm] Metrischer Raum.
> Dies war ein Bsp für metrische Räume. Ich verstehe nicht
> ganz wieso [mm](A,d_{A\times A})[/mm] wieder ein metrischer Raum
> ist.
> Ich hab versucht mit den Axiomen mir das anzusehen - aber
> es gelingt mir nicht ganz.
Wo genau hast du denn Probleme?
[mm] $d_{A}$ [/mm] scheint ja nur die Einschränkung der Metrik $d$ auf $A$ zu sein. Demzufolge vererben sich die ganzen Eigenschaften.
Beispiel: Dreiecksungleichung: Für $a,b,c [mm] \in [/mm] A$ gilt
[mm] $d_{A}(a,b) [/mm] = d(a,b) [mm] \le [/mm] d(a,c) + d(c,b) = [mm] d_A(a,c) [/mm] + [mm] d_A(c,b)$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Mo 04.03.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
> $ [mm] d_{A}(a,b) [/mm] = d(a,b) [mm] \le [/mm] d(a,c) + d(c,b) = [mm] d_A(a,c) [/mm] + [mm] d_A(c,b) [/mm] $.
WIeso gilt denn die erste Gleichheit?
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Hallo,
> > [mm]d_{A}(a,b) = d(a,b) \le d(a,c) + d(c,b) = d_A(a,c) + d_A(c,b) [/mm].
>
> WIeso gilt denn die erste Gleichheit?
Weil [mm] $d_A$ [/mm] als Einschränkung von d definiert wurde, also:
[mm] $d_A [/mm] := [mm] d|_{A\times A}:A \times [/mm] A [mm] \to \IR, d_A(a,b) [/mm] := d(a,b)$.
Viele Grüße,
Stefan
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