Metrik,Totalvariationsabstand < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Neue Woche, neues Aufgabenblatt, selbe Verzweiflung .... das frustriert doch!
Bezeichne eine Menge M( [mm] \IZ) [/mm] den Raum der diskreten Warscheinlichkeitsmaße auf [mm] \IZ [/mm] sowie [mm] d_{TV} [/mm] den Totalvariationsabstand.
Wie zeige ich denn, dass [mm] d_{TV} [/mm] eine Metrik auf [mm] M(\IZ) [/mm] ist (was ist eine Metrik)?
und dass für alle [mm] Q_{1}, Q_{2} \in M(\IZ) [/mm] gilt:
[mm] d_{TV}(Q_{1}, Q_{2}) [/mm] = [mm] 2\max_{A \subset\IZ} |Q_{1}(A) [/mm] - [mm] Q_{2}(A)|
[/mm]
Ich versteh wieder mal nur chinesisch......
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Mo 06.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo JROppenheimer!
> Bezeichne eine Menge M( [mm]\IZ)[/mm] den Raum der diskreten
> Warscheinlichkeitsmaße auf [mm]\IZ[/mm] sowie [mm]d_{TV}[/mm] den
> Totalvariationsabstand.
>
> Wie zeige ich denn, dass [mm]d_{TV}[/mm] eine Metrik auf [mm]M(\IZ)[/mm] ist
> (was ist eine Metrik)?
Du findest ![[]](/images/popup.gif) hier die Definition einer Metrik.
> und dass für alle [mm]Q_{1}, Q_{2} \in M(\IZ)[/mm] gilt:
>
> [mm]d_{TV}(Q_{1}, Q_{2})[/mm] = [mm]2\max_{A \subset\IZ} |Q_{1}(A)- Q_{2}(A)|[/mm]
Es gilt ja:
[mm] $d_{TV}(Q_1,Q_2) =\max_{A,B \subset \IZ} |Q_1(A) [/mm] - [mm] Q_2(A) [/mm] + [mm] Q_2(B) [/mm] - [mm] Q_1(B)|$
[/mm]
setzt man nun spezielle [mm] $B=A^c$, [/mm] so erhält man:
[mm] $d_{TV}(Q_1,Q_2) \ge \max_{A \subset \IZ} |Q_1(A) [/mm] - [mm] Q_2(A) [/mm] + [mm] (1-Q_2(A)) [/mm] - [mm] (1-Q_1(A))| [/mm] = [mm] 2\max_{A \subset \IZ} |Q_1(A) [/mm] - [mm] Q_2(A)|$.
[/mm]
Nun muss man noch zeigen, dass die umgekehrte Ungleichung gilt. Dies ist aber klar wegen der Dreiecksungleichung:
[mm] $\max_{A,B \subset \IZ} |Q_1(A) [/mm] - [mm] Q_2(A) +Q_2(B) [/mm] - [mm] Q_1(B)| \le \max_{A,B \subset \IZ} (|Q_1(A) -Q_2(A)| [/mm] + [mm] |Q_1(B) [/mm] - [mm] Q_2(B)|) [/mm] = [mm] \max_{A \subset \IZ} |Q_1(A) [/mm] - [mm] Q_2(A)| [/mm] + [mm] \max_{B \subset \IZ} |Q_1(B) [/mm] - [mm] Q_2(B)| [/mm] =2 [mm] \max_{A \subset \IZ} |Q_1(A) [/mm] - [mm] Q_2(A)| [/mm] $.
Bemerkung: Angenommen wird das Maximum übrigens durch:
[mm] $A:=\{\omega \in \IZ \, : \, Q_1(\{\omega\}) > Q_2(\{\omega\}) \}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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Hallo,
Ich habe eine Frage zu der Antwort. Woraus folgt die folgende Behauptung?
> Es gilt ja:
>
> [mm]d_{TV}(Q_1,Q_2) =\max_{A,B \subset \IZ} |Q_1(A) - Q_2(A) + Q_2(B) - Q_1(B)|[/mm]
Danke schonmal!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Di 14.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Nun, das ist (nach meinem Verständnis, so wie ich es kenne) einfach die Definition.
Wie habt ihr es denn definiert? Das sollte man dann immer dazuschreiben...
Viele Grüße
Julius
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hallo,
das war eine schnelle Antwort! :)
wir haben das so definiert:
Seien Q1,Q2 W-Verteilungen auf [mm] (\IZ,P( \IZ)). [/mm] Dann heist
[mm] d_{TV}(Q_1,Q_2) [/mm] := [mm] \summe_{k \in \IZ}^{} [/mm] | Q1({k})-Q2(({k}) |
Totalvariationsabstand von Q1 und Q2.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Do 16.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Tut mir leid, ich sehe gerade auf die Schnelle nicht, ob das zu "meiner" Definition äquivalent ist und jetzt ist ja auch die von dir vorgesehene Fälligkeit leider längst abgelaufen.
Vielleicht kann dir ja beim nächsten mal wieder jemand helfen. 
Viele Grüße
Julius
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