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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Metrik, Norm
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Metrik, Norm: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:25 Sa 21.05.2011
Autor: mathestudent111

Aufgabe
Zeigen Sie:

1) Es gibt eine Norm auf X die die Metrik d induziert?
2) Ist die diskrete Metrik auf X [mm] \not= [/mm] {0} von einer Norm induziert?

Meine Ansätze:

Zu 1) Ich denke zu zeigen ist  d(x,y) = [mm] \parallel x-y\parallel. [/mm]
          Welche Definition muss ich dann nachweisen, die Norm- oder die vom  
          metrischen Raum?


Zu 2) Da weiß ich keinen konkrten Ansatz.....


Vielen Dank für eure Hilfe schonmal!

        
Bezug
Metrik, Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:57 Sa 21.05.2011
Autor: Teufel

Hi!

Was ist denn X genau bei dir? Oder ist das nicht genauer spezifiziert?

1.)
Ja, als Metrik kann man sich $d(x,y)=||x-y||$ definieren. Jede Norm induziert so eine Metrik auf X.
Du musst nun die Metrikeigenschaften nachweisen, also
i) [mm] $d(x,y)\ge [/mm] 0$ und $d(x,y)=0 [mm] \gdw [/mm] x=y$
ii) $d(x,y)=d(y,x)$
iii) [mm] $d(x,y)\le [/mm] d(x,z)+d(z,y)$
(wobei man sich [mm] $d(x,y)\ge [/mm] 0$ streng genommen sparen könnte, weil es aus dem Rest folgt).
Gegen sind dabei die Normeigenschaften.

2.)
Geh mal davon aus, dass die diskrete Metrik von einer Norm induziert sei.
Also $d(x,y)=||x-y||$, wobei d hier die diskrete Metrik sein soll. Dann müsste für die Norm ja $||0||=0$ gelten (das ist ok), aber $||x||=1$ für alle $x [mm] \not= [/mm] 0$.
Das beißt sich aber mit der Normeigenschaft [mm] ||\alpha*x||=|\alpha|*||x||. [/mm]

Bezug
                
Bezug
Metrik, Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:54 Sa 21.05.2011
Autor: mathestudent111

Aha. okay. also die 1. Aufgabe habe ich jetzt hinbekommen.

Aber ich versteh bei 2.) nicht den Widerspruch bei der diskreten Metrik.
Kannste du mir es bitte noch genauer erläutern?

Bezug
                        
Bezug
Metrik, Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:58 Sa 21.05.2011
Autor: Teufel

Ok.

Also angenommen die diskrete emetrik wird von einer Norm $||.||$ induziert.
Dann muss für die Norm gelten:
$||0||=0$ und $||x||=1$ für $x [mm] \not=0$. [/mm] Dann nimm doch einfach mal [mm] \alpha=2, [/mm] x=1.

Dann hast du [mm] $1=||2*1||\underbrace{=}_{Normeigenschaft}|2|*||1||=2*1=2$. [/mm]

Bezug
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