Metrik - Dreiecksungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:34 Do 24.04.2008 | | Autor: | sie-nuss |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die Dreiecksungleichung gilt bei folgender Metrik im [mm] \IR^n: [/mm]
d(x,y) = [mm] max|x_{i}-y_{i}| [/mm] |
Hallo zusammen,
Also ich verstehe ja was das bedeutet, und wo das Problem liegt. zu zeigen ist ja:
[mm] max|x_{i}-y_{i}| \le max|x_{j}-z_{j}| [/mm] + [mm] max|z_{k}-y_{k}|
[/mm]
denn die Indizes könnten ja verschieden sein... Aber wie gehe ich da jetzt ran? Erster Schritt, klar: Ich setze d(x,y) = [mm] |x_{i_{o}}-y_{i_{o}}| [/mm]
Und dann? Kann mir vielleicht jemand helfen?
Liebe Grüße,
sie-nuss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Do 24.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Edit: Korrektur am 24.04.2008
Hallo,
> Beweisen Sie, dass die Dreiecksungleichung gilt bei
> folgender Metrik im [mm]\IR^n:[/mm]
>
> d(x,y) = [mm]max|x_{i}-y_{i}|[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> Also ich verstehe ja was das bedeutet, und wo das Problem
> liegt. zu zeigen ist ja:
>
> [mm]max|x_{i}-y_{i}| \le max|x_{j}-z_{j}|[/mm] + [mm]max|z_{k}-y_{k}|[/mm]
>
> denn die Indizes könnten ja verschieden sein... Aber wie
das ist doch Wurscht, da die Indizes ja von $1,...,n$ laufen; es sind hier Laufvariablen (ansonsten bräuchte man doch kein [mm] $\max$ [/mm] davor; und ohne das [mm] $\max$ [/mm] wäre das auch keine Metrik). Aber natürlich kannst Du gerne auch anstatt
[mm] $\max\{|x_{i}-y_{i}|,\;\;i=1,...,n\} \le \max\{|x_{i}-z_{i}|,\;\;i=1,...,n\}+\max\{|z_{i}-y_{i}|,\;\;i=1,...,n\}$ [/mm]
hier
[mm] $\max\{|x_{i}-y_{i}|,\;\;i=1,...,n\} \le \max\{|x_{j}-z_{j}|,\;\;j=1,...,n\}+\max\{|z_{k}-y_{k}|,\;\;k=1,...,n\}$ [/mm]
schreiben.
(Anmerkung: Aus Notationsgründen schreibe ich unten auch mal [mm] $\max\limits_{i=1,...,n} |x_{i}-y_{i}|$ ($\leftarrow$ so ist die obige Schreibweise eigentlich gemeint, es wurde nur sogar noch das $i=1,...,n$ gespart) anstatt $\max\{|x_{i}-y_{i}|,\;\;i=1,...,n\}$.)
Aber wie gesagt, die Indizes sind Laufvariablen. Ausgeschrieben steht da, dass Du zeigen sollst:
$\max\{|x_{1}-y_{1}|, |x_{2}-y_{2}|,..., |x_{n}-y_{n}|\} \le \max\{|x_{1}-z_{1}|, |x_{2}-z_{2}|,..., |x_{n}-z_{n}|\}+\max\{|z_{1}-y_{1}|, |z_{2}-y_{2}|,..., |z_{n}-y_{n}|\}$
(Genau das heißt ja hier für $x,y,z \in \IR^n$:
$d(x,y) \le d(x,z)+d(z,y)$.)
> gehe ich da jetzt ran? Erster Schritt, klar: Ich setze
> d(x,y) = [/mm] [mm]|x_{i_{o}}-y_{i_{o}}|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Nein, das kannst Du so nicht machen, da steht ja rechts dann nicht mehr die Metrik. Was Du aber machen kannst:
Seien $x=(x_1,...,x_n)$, $y=(y_1,...,y_n)$, $z=(z_1,...,z_n) \in \IR^n$ (ob das Zeilen- oder Spaltenvektoren sind, ist hier ziemlich wurscht, ggf. denke Dir bei meinen ein "transponiert" dabei, wenn ihr immer Spaltenvekoren betrachten solltet). Sei $j \in \IN_{\le n}$ fest (d.h. wir nehmen ein festes $j \in \{1,...,n\}$ her) und, wie oben angedeutet, seien
$x_j$: die $j$-te Komponente von $x$
$y_j$: die $j$-te Komponente von $y$
$z_j$: die $j$-te Komponente von $z$
Dann gilt:
$|x_j-y_j| \le |x_j-z_j|+|z_j-y_j|$
nach der Dreiecksungleichung in $(\IR,d_{|.|})$.
Jetzt bilde mal auf beiden Seiten das $\max_{j=1,...,n}$, und dann überlege Dir, warum allgemein gilt (jedenfalls wenn $a_j,b_j$ alle $\ge 0$ sind):
$\red{\max_{j=1,...,n} (a_j+b_j)=\left(\max_{j=1,...,n} a_j\right)+\left(\max_{j=1,...,n} b_j\right)}$
Diese Gleichung darf man i.a. so nicht hinschreiben, aber es genügt uns hier, dass
$\max_{j=1,...,n} (a_j+b_j) \blue{\le}\left(\max_{j=1,...,n} a_j\right)+\left(\max_{j=1,...,n} b_j\right)}$
und schon bist Du fertig.
P.S.:
Wenn Dir der Schritt mit dem "$\max_{j=1,...,n}$ auf beiden Seiten bilden" nicht gefällt, kannst Du das ganze sicher auch mittels Induktion machen. Es kommt aber auf das gleiche raus, da man auch induktiv zeigen kann:
Sind $(a_j)_j$, $(b_j)_j$ Folgen in $\IR$, so dass
$a_j \le b_j$ für alle $j \in \IN$, so folgt für jedes $n \in \IN$:
$\max_{j=1,...,n} a_j \le \max_{j=1,...,n} b_j$
(bzw. in der "saubereren Notation":
$\max\{a_j,\;\;j=1,...n\} \le \max\{b_j,\;\;j=1,...n\}$)
Wobei diese Aussage mit einem Widerspruchsbeweis noch banaler zu zeigen ist:
Annahme: $\max\{a_j,\;\;j=1,...n\} > \max\{b_j,\;\;j=1,...n\}$. Dann gibt es ein $j_0 \in \IN_{\le n}$ mit $a_{j_0}=\max\{a_j,\;\;j=1,...n\}$.
Wegen $\max\{a_j,\;\;j=1,...n\}=a_{j_0} > \max\{b_j,\;\;j=1,...n\}$ gilt dann insbesondere $a_{j_0} > b_{j_0}$. Widerspruch (zu $a_j \le b_j$ für alle $j \in \IN_{\le n}$).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Do 24.04.2008 | | Autor: | sie-nuss |
Hallo Marcel,
Vielen, vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Ich verstehe:
[mm] |x_{j}-y_{j}|\le|x_{j}-z_{j}|+|z_{j}-y_{j}| [/mm] gilt nach Dreiecksungleichung.
Dann bilde ich das Maximum auf beiden Seiten,also:
[mm] max|x_{j}-y_{j}| \le max[|x_{j}-z_{j}|+|z_{j}-y_{j}|] [/mm] und das ist gleich [mm] max|x_{j}-z_{j}| [/mm] + [mm] max|z_{j}-y_{j}|
[/mm]
und somit ist es doch schon fertig, oder?
Ich bin mir aber immernoch unsicher wegen der Indizes. Ich verstehe deinen Einwand, dass er ja "läuft" aber würden diese Ungleichungen (besonders die allgemeine Dreiecksungleichen) nicht bedeuten (also wenn ich es so hinschreibe) dass der Index j fest ist?
Ich verstehe das noch nicht so ganz...
Vielen Dank für die Hilfe!
Liebe Grüße,
sie-nuss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Do 24.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> Vielen, vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Ich
> verstehe:
>
> [mm]|x_{j}-y_{j}|\le|x_{j}-z_{j}|+|z_{j}-y_{j}|[/mm] gilt nach
> Dreiecksungleichung.
>
> Dann bilde ich das Maximum auf beiden Seiten,also:
>
> [mm]max|x_{j}-y_{j}| \le max[|x_{j}-z_{j}|+|z_{j}-y_{j}|][/mm] und
> das ist gleich [mm] $\blue{\le}$[/mm] [mm]max|x_{j}-z_{j}|[/mm] + [mm]max|z_{j}-y_{j}|[/mm]
>
> und somit ist es doch schon fertig, oder?
Genau 
> Ich bin mir aber immernoch unsicher wegen der Indizes. Ich
> verstehe deinen Einwand, dass er ja "läuft" aber würden
> diese Ungleichungen (besonders die allgemeine
> Dreiecksungleichen) nicht bedeuten (also wenn ich es so
> hinschreibe) dass der Index j fest ist?
Ich verstehe hier - ehrlich gesagt - nicht so genau, was Dir unklar ist. Also zum einen habe ich unten geschrieben, warum man aus
[mm] $a_j \le b_j$ [/mm] für $j=1,...,n$ folgern darf, dass [mm] $\max\{a_j,\;\;j=1,...,n\} \le \max\{b_j,\;\;j=1,...,n\}$
[/mm]
Das wird ja im Beweis verwendet (an der Stelle, wo ich sage: Bilde auf beiden Seiten nun [mm] $\max_{j=1,...,n}$).
[/mm]
Und wenn ich
[mm] $\max\{a_j,\;\;j=1,...,n\} \le \max\{b_j,\;\;j=1,...,n\}$ [/mm]
schreibe, dann heißt das ja:
[mm] $\max [/mm] M [mm] \le \max [/mm] N$, wobei
[mm] $M=\{a_j,\;\;j=1,...,n\}=\{a_1,...,a_n\}$ [/mm] und [mm] $N=\{b_j,\;\;j=1,...,n\}=\{b_1,...,b_n\}$
[/mm]
Und ob ich nun z.B.
[mm] $M=\{a_j,\;\;j=1,...,n\}=\{a_k,\;\;k=1,...,n\}=\{a_\phi,\;\;\phi=1,...,n\}$ [/mm] oder wie auch immer schreibe, ist ja egal, es ist damit stets
[mm] $M=\{a_1,...,a_n\}$
[/mm]
und von dieser (endlichen) Menge kann man dann das Maximum nehmen:
[mm] $\max M=\max \{a_j,\;\;j=1,...,n\}=\max \{a_k,\;\;k=1,...,n\}=\max \{a_\phi,\;\;\phi=1,...,n\}$
[/mm]
Ich weiß jetzt nicht, inwiefern dort ein $j$ dann "fest" sein sollte. Es ist ja nicht [mm] $M=\{a_j\}$ [/mm] für ein festes $j$, sondern die Notation [mm] $\{a_j,\;\;j=1,...,n\}$ [/mm] steht nur für [mm] $\{a_1,...,a_n\}$.
[/mm]
Ich glaube, das Problem Deinerseits rührt daher, dass der Aufgabensteller nur
[mm] $d(x,y)=\max|x_i-y_i|$ [/mm] geschrieben hat, anstatt, wie es richtiger wäre:
[mm] $d(x,y)=\max_{i=1,...,n}|x_i-y_i|$ [/mm] bzw. wie es "noch richtiger" wäre:
[mm] $d(x,y)=\max\{|x_i-y_i|,\;\;i=1,...,n\}$ [/mm] bzw.
[mm] $d(x,y)=\max\{|x_1-y_2|, |x_2-y_2|,...,|x_n-y_n|\}$
[/mm]
Allerdings kann er diese Notation durchaus rechtfertigen:
Denn wäre mit
[mm] $d(x,y)=\max|x_i-y_i|$ [/mm] gemeint, dass rechterhand ein $i$ fest wäre, so stünde dort
[mm] $\max\{|x_i-y_i|\}$, [/mm] also das Maximum über eine einelementige Menge. Und dann könnte man direkt anstatt
[mm] $\max\{|x_i-y_i|\}$ [/mm] einfach [mm] $|x_i-y_i|$ [/mm] schreiben.
Daher:
[mm] $d(x,y)=\max|x_i-y_i|$ [/mm] ist in dem Sinne
[mm] $d(x,y)=\max|x_i-y_i|=\max_{i=1,...,n}|x_i-y_i|=\max\{|x_i-y_i|,\;\;i=1,...,n\}=\max\{|x_1-y_2|, |x_2-y_2|,...,|x_n-y_n|\}$ [/mm]
zu verstehen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Do 24.04.2008 | | Autor: | sie-nuss |
Okay, ich glaube ich verstehe so langsam. Ich schaus mir nochmal in Ruhe an. Vielen Dank für Deine tolle Hilfe!
sie-nuss
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Do 24.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
irgendwie war mir heute die Aufgabe nochmal im Gedächtnis rumgeschwirrt, und ich habe herausgefunden, was mich noch störte:
Ich hatte ja
[mm] $\max_{i=1,...,n} \left(a_i+b_i\right) \red{=} \left(\max_{i=1,...,n}a_i\right)+\left(\max_{i=1,...,n}b_i\right)$
[/mm]
behauptet. Das stimmt so leider nicht, aber was stimmt, ist:
[mm] $\max_{i=1,...,n} \left(a_i+b_i\right) \blue{\le} \left(\max_{i=1,...,n}a_i\right)+\left(\max_{i=1,...,n}b_i\right)$
[/mm]
Und zum Glück genügt uns das 
P.S.:
Ich habe das oben schon korrigiert
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Mo 02.06.2008 | | Autor: | manmath |
| Aufgabe | [mm] (X_{1,}, d_{1,}) [/mm] und [mm] (X_{2,}, d_{2,}) [/mm] seien metrische Räume. Für x,y [mm] \in X_{1,}\times X_{2,} [/mm] sei d(x,y) := max [mm] {d_{1,}(x_{1},y_{1}),d_{2,}(x_{2},y_{2})}. [/mm] Zeige, dass d eine Metrik auf
[mm] X_{1,}\times X_{2,} [/mm] ist.
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Die Kriterien Positivität und Symmetrie sind leicht zu zeigen. Probleme hab ich mit der Dreiecksungleichung, obwohl ich die Kommentare zu der Aufgabe vorher gelesen habe.
Ansatz für die Dreiecksungleichung:
zu zeigen ist wohl:
[mm] d(x,z)\le [/mm] d(x,y) + d(y,z) darin eingesetzt aus der Aufgabenstellung:
zu zeigen: max [mm] {d_{1,}(x_{1},z_{1}),d_{2,}(x_{2},z_{2})}\le [/mm] max [mm] {d_{1,}(x_{1},y_{1}),d_{2,}(x_{2},y_{2})} [/mm] + max [mm] {d_{1,}(y_{1},z_{1}),d_{2,}(y_{2},z_{2})}
[/mm]
Wenn ich jetzt die Dreiecksungleichungen für jeden Raum einzeln nehme und addiere und sortiere, komme ich auf:
[mm] d_{1,}(x_{1},z_{1}) [/mm] + [mm] d_{2,}(x_{2},z_{2}) \le d_{1,}(x_{1},y_{1}) +d_{2,}(x_{2},y_{2}) +d_{1,}(y_{1},z_{1}) +d_{2,}(y_{2},z_{2})
[/mm]
die linke Seite der Dreieckungleichung könnte ich leicht mit max [mm] {d_{1,}(x_{1},z_{1}),d_{2,}(x_{2},z_{2})} [/mm] nach unten abschätzen und hätte dann schon die linke Seite der zu beweisenden Dreiecksungleichung, aber was mache ich mit der rechten Seite? Wenn ich da mit max abschätze, wird die kleiner.
oder gibts einen einfacheren Weg?
LG manmath
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm](X_{1,}, d_{1,})[/mm] und [mm](X_{2,}, d_{2,})[/mm] seien metrische
> Räume. Für x,y [mm]\in X_{1,}\times X_{2,}[/mm] sei d(x,y) := max
> [mm]{d_{1,}(x_{1},y_{1}),d_{2,}(x_{2},y_{2})}.[/mm] Zeige, dass d
> eine Metrik auf
> [mm]X_{1,}\times X_{2,}[/mm] ist.
>
>
>
>
> Die Kriterien Positivität und Symmetrie sind leicht zu
> zeigen. Probleme hab ich mit der Dreiecksungleichung,
> obwohl ich die Kommentare zu der Aufgabe vorher gelesen
> habe.
> Ansatz für die Dreiecksungleichung:
> zu zeigen ist wohl:
> [mm]d(x,z)\le[/mm] d(x,y) + d(y,z) darin eingesetzt aus der
> Aufgabenstellung:
>
> zu zeigen: max [mm]{d_{1,}(x_{1},z_{1}),d_{2,}(x_{2},z_{2})}\le[/mm]
> max [mm]{d_{1,}(x_{1},y_{1}),d_{2,}(x_{2},y_{2})}[/mm] + max
> [mm]{d_{1,}(y_{1},z_{1}),d_{2,}(y_{2},z_{2})}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt die Dreiecksungleichungen für jeden Raum
> einzeln nehme und addiere und sortiere, komme ich auf:
>
> [mm]d_{1,}(x_{1},z_{1})[/mm] + [mm]d_{2,}(x_{2},z_{2}) \le d_{1,}(x_{1},y_{1}) +d_{2,}(x_{2},y_{2}) +d_{1,}(y_{1},z_{1}) +d_{2,}(y_{2},z_{2})[/mm]
>
> die linke Seite der Dreieckungleichung könnte ich leicht
> mit max [mm]{d_{1,}(x_{1},z_{1}),d_{2,}(x_{2},z_{2})}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
nach
> unten abschätzen und hätte dann schon die linke Seite der
> zu beweisenden Dreiecksungleichung, aber was mache ich mit
> der rechten Seite? Wenn ich da mit max abschätze, wird die
> kleiner.
> oder gibts einen einfacheren Weg?
> LG manmath
zunächst gilt ja:
$d(x,z)=\mbox{max}\{d_1(x_1,z_1),\;d_2(x_2,z_2)\}$
sowie
$d(x,y)+d(y,z)=\mbox{max}\{d_1(x_1,y_1),\;d_2(x_2,y_2)\}+\mbox{max}\{d_1(y_1,z_1),\;d_2(y_2,z_2)\} $
Im Falle $d(x,z)=d_1(x_1,z_1)$ gilt dann sicherlich:
$d(x,z)=d_1(x_1,z_1) \underbrace{\le}_{\blue{\mbox{Dreiecksungleichung für }d_1}}\;\; \underbrace{d_1(x_1,y_1)}_{\green{\le \mbox{max}\{d_1(x_1,y_1),\;d_2(x_2,y_2)\}}}+d_1(y_1,z_1) \le \mbox{max}\{d_1(x_1,y_1),\;d_2(x_2,y_2)\}+\underbrace{d_1(y_1,z_1)}_{\green{\le \mbox{max}\{d_1(y_1,z_1),\;d_2(y_2,z_2)}}$
$\le \mbox{max}\{d_1(x_1,y_1),\;d_2(x_2,y_2)\}+\mbox{max}\{d_1(y_1,z_1),\;d_2(y_2,z_2)\}=d(x,y)+d(y,z)$
Überlege Dir den Fall $d(x,z)=d_2(x_2,z_2)$ analog.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Mo 02.06.2008 | | Autor: | manmath |
>
> zunächst gilt ja:
>
> [mm]d(x,z)=\mbox{max}\{d_1(x_1,z_1),\;d_2(x_2,z_2)\}[/mm]
>
> sowie
>
> [mm]d(x,y)+d(y,z)=\mbox{max}\{d_1(x_1,y_1),\;d_2(x_2,y_2)\}+\mbox{max}\{d_1(y_1,z_1),\;d_2(y_2,z_2)\}[/mm]
>
> Im Falle [mm]d(x,z)=d_1(x_1,z_1)[/mm] gilt dann sicherlich:
>
> [mm]d(x,z)=d_1(x_1,z_1) \underbrace{\le}_{\blue{\mbox{Dreiecksungleichung für }d_1}}\;\; \underbrace{d_1(x_1,y_1)}_{\green{\le \mbox{max}\{d_1(x_1,y_1),\;d_2(x_2,y_2)\}}}+d_1(y_1,z_1) \le \mbox{max}\{d_1(x_1,y_1),\;d_2(x_2,y_2)\}+\underbrace{d_1(y_1,z_1)}_{\green{\le \mbox{max}\{d_1(y_1,z_1),\;d_2(y_2,z_2)}}[/mm]
>
>
> [mm]\le \mbox{max}\{d_1(x_1,y_1),\;d_2(x_2,y_2)\}+\mbox{max}\{d_1(y_1,z_1),\;d_2(y_2,z_2)\}=d(x,y)+d(y,z)[/mm]
>
> Überlege Dir den Fall [mm]d(x,z)=d_2(x_2,z_2)[/mm] analog.
>
> Gruß,
> Marcel
Danke für den Lösungsansatz
für den Fall [mm]d(x,z)=d_2(x_2,z_2)[/mm] komme ich auf der rechten Seite zu der gleichen Abschätzung wie für [mm] d(x,z)=d_1(x_1,z_1)
[/mm]
weil d(x,z) nur die beiden Werte annehmen kann, ist
d(x,z)[mm]\le \mbox{max}\{d_1(x_1,y_1),\;d_2(x_2,y_2)\}+\mbox{max}\{d_1(y_1,z_1),\;d_2(y_2,z_2)\}=d(x,y)+d(y,z)[/mm]
Gruß
manmath
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:15 Di 03.06.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >
> > zunächst gilt ja:
> >
> > [mm]d(x,z)=\mbox{max}\{d_1(x_1,z_1),\;d_2(x_2,z_2)\}[/mm]
> >
> > sowie
> >
> >
> [mm]d(x,y)+d(y,z)=\mbox{max}\{d_1(x_1,y_1),\;d_2(x_2,y_2)\}+\mbox{max}\{d_1(y_1,z_1),\;d_2(y_2,z_2)\}[/mm]
> >
> > Im Falle [mm]d(x,z)=d_1(x_1,z_1)[/mm] gilt dann sicherlich:
> >
> > [mm]d(x,z)=d_1(x_1,z_1) \underbrace{\le}_{\blue{\mbox{Dreiecksungleichung für }d_1}}\;\; \underbrace{d_1(x_1,y_1)}_{\green{\le \mbox{max}\{d_1(x_1,y_1),\;d_2(x_2,y_2)\}}}+d_1(y_1,z_1) \le \mbox{max}\{d_1(x_1,y_1),\;d_2(x_2,y_2)\}+\underbrace{d_1(y_1,z_1)}_{\green{\le \mbox{max}\{d_1(y_1,z_1),\;d_2(y_2,z_2)}}[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]\le \mbox{max}\{d_1(x_1,y_1),\;d_2(x_2,y_2)\}+\mbox{max}\{d_1(y_1,z_1),\;d_2(y_2,z_2)\}=d(x,y)+d(y,z)[/mm]
>
> >
> > Überlege Dir den Fall [mm]d(x,z)=d_2(x_2,z_2)[/mm] analog.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Danke für den Lösungsansatz
> für den Fall [mm]d(x,z)=d_2(x_2,z_2)[/mm] komme ich auf der rechten
> Seite zu der gleichen Abschätzung wie für
> [mm]d(x,z)=d_1(x_1,z_1)[/mm]
> weil d(x,z) nur die beiden Werte annehmen kann, ist
> d(x,z)[mm]\le \mbox{max}\{d_1(x_1,y_1),\;d_2(x_2,y_2)\}+\mbox{max}\{d_1(y_1,z_1),\;d_2(y_2,z_2)\}=d(x,y)+d(y,z)[/mm]
>
> Gruß
> manmath
genau. Eigentlich ist die ganze Aufgabe ja ziemlich einfach, aber sie ist dann wiederum erst einfach, wenn mal einmal gesehen hat, warum sie einfach ist. Und hier sieht man es meiner Meinung nach am besten, wenn man die beiden möglichen Fälle durchspielt, denn dann wird es wirklich offensichtlich (unter Beachtung, dass eine Metrik nur Werte [mm] $\ge [/mm] 0$ annimmt).
Gruß,
Marcel
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