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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 So 23.03.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Sei [mm] d_{2} [/mm] := [mm] \wurzel{\integral_{0}^{1}|f(x)-g(x)|^{2}}
[/mm]
Zeige, dass folgende Äquivalenzrelation gilt:
[mm] d_{2}(f,g) [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] f(x) = g(x) = 0 |
Es gilt ja dass [mm] |f(x)-g(x)|^{2} \ge [/mm] 0.
Aber ich weiss nicht genau, wie ich dann weiterfahren kann...
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Hi,
[mm] d_2(f,g) [/mm] = [mm] \wurzel{\integral_{0}^{1}{|f(x)-g(x)|^2 dx}}.
[/mm]
zu zeigen ist:
[mm] d_2(f,g) [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] f(x) = g(x) = 0.
[mm] d_2(f,g) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = g(x) = 0
[mm] d_2(f,g) [/mm] = 0 [mm] \gdw \wurzel{\integral_{0}^{1}{|f(x)-g(x)|^2 dx}} [/mm] = 0 [mm] (\*). [/mm] Da [mm] d_2(f,g) \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] f,g , können wir beide Seiten der letzen Gleichung quadrieren, dann ist [mm] (\*) \gdw \integral_{0}^{1}{|f(x)-g(x)|^2 dx} [/mm] = 0 = [mm] |\integral_{0}^{1}{(f(x)-g(x))^2 dx}| [/mm] (**). Die letzte Gleichheit gilt wegen [mm] |\integral_{0}^{1}{f(x) dx}| \le \integral_{0}^{1}{|f(x)|dx}. [/mm]
(**) [mm] \gdw \integral_{0}^{1}{(f(x)-g(x))^2 dx} [/mm] = 0.
Jetzt etwas anschaulich, das Integral gibt den Flächeninhalt. Die letzte Gleichung besagt, dass die Fläche zwischen der Funktion [mm] (f(x)-g(x))^2 [/mm] und der x-Achse gleich 0 ist. Das passiert genau dann, wenn die Flächen unterhalb der x-Achse genau so gross wie die oberhalb. Es ist aber keine Fläche unterhalb der x-Achse, da [mm] (f(x)-g(x))^2 [/mm] nie negativ wird, also gibt es auch keine Fläche oberhalb der x-Achse, daher is [mm] (f(x)-g(x))^2 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = g(x).
Die andere Richtung ist einfach.
Gruss,
logarithmus
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