Metrik < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Sa 20.05.2006 | | Autor: | andrez |
| Aufgabe | Sei ( X, d) ein metrischer Raum, so dass jede abgeschlossene Kugel Br`(a)
kompakt ist . Zu zeigen: ( X, d) ist vollständig. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
Meine Lösung
z.z ( X, d) ist vollständig.
Wir wissen Br`(a) ist kompakt
[mm] \Rightarrow [/mm] Br`(a) ist abgeschlossen und beschränkt
[mm] \Rightarrow [/mm] Jede Folge [mm] (x_{n}) \subset [/mm] Br`(a) ist beschränkt
sei [mm] (x_{n}) [/mm] eine beschränkte Folge.
Nach Bolzano Weierstraß:
Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge. Der Grenzwert dieser Teilfolge ist der Häufungspunkt der Folge.
Sei [mm] (x_{n_{k}}) \subset (x_{n}) [/mm] so eine konvergente Teilfolge
und lim [mm] (x_{n_{k}}) [/mm] = h
Weil Br`(a) abgeschlossen ist : h [mm] \in [/mm] Br`(a)
wir wissen, dass jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist.
[mm] \Rightarrow (x_{n_{k}}) [/mm] eist eine Cauchy Folge
Also: [mm] (x_{n_{k}}) \subset [/mm] Br`(a) [mm] \subset [/mm] (X ,d)
lim [mm] (x_{n_{k}}) \in [/mm] Br`(a) [mm] \subset [/mm] (X ,d)
[mm] \gdw [/mm] Der Grenzwert jeder Cauchy-Folge ist in (X ,d)
[mm] \gdw [/mm] (X ,d) ist vollständig
Frage:
Kann mir jemand bitte sagen was an meiner Lösung falsch ist?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo andrez!
Bitte in zukunft keine Doppel- bzw. gar Dreifachpostings hier im MatheRaum einstellen.
Ich habe Deine anderen beiden Fragen daher gelöscht.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Frank26 |
Hallo Andrez,
das Problem bei deiner Lösung ist das der Satz von Bolzano-Weierstraß nur für beschränkt relle Zahlen gilt und nicht in einem beliebigen metrischen Raum. Um die Aussage zu beweisen, gehe so vor. Gebe dir eine beliebige Cauchy-Folge vor, diese ganz du in einer abgeschlossenen Kugel "fangen", von der du weisst, dass sie kompakt ist. Wie kannst du daraus die Konvergenz der Folge folgern?
Gruß
Frank
|
|
|
|
