Metr. Raum stetiger Funktionen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Fr 15.10.2010 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Sei C[0,1] der Raum der stetigen Funktionen x: [mm] [0,1]\rightarrow\IR [/mm] mit der Metrik [mm] d(x,y)=\max_{0\le t \le1} [/mm] |x(t)-y(t)| sowie [mm] M=\{x\in C[0,1]: x(0)=0 \wedge x(1)=1, |x(t)|\le1 \forall t\in[0,1] \} [/mm] Teilmenge von C[0,1].
Weiterhin sei auf C[0,1] die Abbildung f: [mm] C[0,1]\rigthtarrow\IR [/mm] mit [mm] f(x)=\int_{0}^{1}x(t)^{2} \, [/mm] dt, [mm] x\in [/mm] C[0,1] definiert.
a) Zeigen Sie, dass M abgeschlossen und beschränkt ist.
b) Geben Sie eine Folge [mm] X_{n}\subset [/mm] M an, die keine in C[0,1] konvergente Teilfolge besitzt.
c) Gibt es ein endliches [mm] \epsilon-Netz [/mm] für M (d.h. ist M präkompakt)?
d) Zeigen Sie, dass f eine stetige Abbildung auf C [0,1] ist.
e) Nimmt f auf M ein Maximum oder Minimum an? Wenn ja, bestimmen Sie es. |
Hallo,
Zu a) x(t) ist in M auf das Intervall [-1,1] eingeschränkt, welches abgeschlossen ist. d(x,y) kann demnach nicht größer als 2 werden. Somit ist M auch beschränkt.
zu b) Ich denke mal, [mm] x_{n}(t)=sin(n*(t+1)) [/mm] dürfte die Anforderungen erfüllen.
zu c) Ich denke schon, bin mir aber mit der Begründung unsicher. Kann ich sagen, dass die Funktionswerte von x(t) in M ein abgeschlossenes reelles Intervall bilden und M beschränkt ist und somit Kompaktheit folgt, da abgeschlossene und beschränkte Teilmengen des reellen metrischen Raumes immer kompakt sind (nach Heine-Borel).
zu d) und e) habe ich leider noch keine Idee. Ich habe schon ein paar erfolglose Umformungsversuche unternommen, komme mit dem Intgral aber nicht so recht weiter.
Kann mir einer weiterhelfen? Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Gruß
DerGraf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Sa 16.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin DerGraf!
> Sei C[0,1] der Raum der stetigen Funktionen x:
> [mm][0,1]\rightarrow\IR[/mm] mit der Metrik [mm]d(x,y)=\max_{0\le t \le1}[/mm]
> |x(t)-y(t)| sowie [mm]M=\{x\in C[0,1]: x(0)=0 \wedge x(1)=1, |x(t)|\le1 \forall t\in[0,1] \}[/mm]
> Teilmenge von C[0,1].
>
> Weiterhin sei auf C[0,1] die Abbildung f:
> [mm]C[0,1]\rigthtarrow\IR[/mm] mit [mm]f(x)=\int_{0}^{1}x(t)^{2} \,[/mm] dt,
> [mm]x\in[/mm] C[0,1] definiert.
>
> a) Zeigen Sie, dass M abgeschlossen und beschränkt ist.
> b) Geben Sie eine Folge [mm]X_{n}\subset[/mm] M an, die keine in
> C[0,1] konvergente Teilfolge besitzt.
> c) Gibt es ein endliches [mm]\epsilon-Netz[/mm] für M (d.h. ist M
> präkompakt)?
> d) Zeigen Sie, dass f eine stetige Abbildung auf C [0,1]
> ist.
> e) Nimmt f auf M ein Maximum oder Minimum an? Wenn ja,
> bestimmen Sie es.
>
>
> Zu a) x(t) ist in M auf das Intervall [-1,1]
> eingeschränkt, welches abgeschlossen ist. d(x,y) kann
> demnach nicht größer als 2 werden. Somit ist M auch
> beschränkt.
Genau.
Und warum ist es abgeschlossen?
> zu b) Ich denke mal, [mm]x_{n}(t)=sin(n*(t+1))[/mm] dürfte die
> Anforderungen erfüllen.
Das liegt aber nicht in $M$.
Zu c) kann ich leider nichts sagen.
> zu d) und e) habe ich leider noch keine Idee. Ich habe
> schon ein paar erfolglose Umformungsversuche unternommen,
> komme mit dem Intgral aber nicht so recht weiter.
Zu c): nimm dir eine Folge [mm] $g_n \in [/mm] C[0, 1]$ mit Grenzwert $g [mm] \in [/mm] C[0, 1]$ bzgl. $d$, d.h. es gilt [mm] $d(g_n, [/mm] g) [mm] \to [/mm] 0$ fuer $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Betrachte jetzt $f(g) - [mm] f(g_n) [/mm] = [mm] \int_0^1 g^2(x) [/mm] - [mm] g_n^2(x) [/mm] dx$. Schaetze den Integranden nach oben ab (durch [mm] $d(g_n, [/mm] g)$).
Zu d): du kannst leicht $f$ nach oben durch 1 und nach unten durch 0 abschaetzen (warum?).
Such dir jetzt sehr einfache (stueckweise lineare) Funktionen in $M$ (es geht mit nur einem Knick), fuer die $f$ sehr klein bzw. sehr gross ist. Kannst du dich beliebig an 0 und 1 annaehern?
Kannst du die Grenzwerte 0 und 1 erreichen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:37 Sa 16.10.2010 | | Autor: | DerGraf |
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Wie du siehst, habe ich gleich eine Nachtschicht eingelegt, um die Aufgaben weiter zu bearbeiten. Hier erstmal der aktuelle Stand:
zu e) x(t) läuft von -1 bis 1. Somit bewegt sich [mm] x(t)^2 [/mm] zwischen 0 und 1. Wenn ich x(t) mal konstant 0 setze, erhalte ich 0 als unteren Grenzwert. Setze ich x(t) konstant 1, erhalte ich als Grenzwert 1. Die x(t) aus M befinden sich dazwischen.
Gehen wir nun von einem steilen Anstieg von 0 auf 1 aus angefangen bei x(0)=0, kann man sich der 1 schon sehr gut annähern. Erreichen kann man Sie nicht, denn dann hätte die Funktion bei x(0) einen Sprung. Befindet sich dieser Anstieg dicht bei t=1, so beträgt das Integral fast 0. Erreicht wird dieser Grenzwert ebenfalls nicht, da wir bei t=1 sonst einen Sprung hätten, womit x(t) nicht mehr stetig wäre. Damit nimmt f weder Maximum noch Minimum an.
zu d) Die Rechnung kann ich so weit verfolgen, nur weiß ich nicht, wie ich den Integranten abschätzen soll. Meinst du, ich soll einfach d in das Integral einsetzen, weil die Differenz ebenso gegen 0 geht, wie die Abstandsfunktion?
zu b) Es ist gar nicht so leicht, eine unbestimmte divergente Funktionsfolge zu finden, welche für t=0 wirklich 0 und für t=1 wirklich 1 ist. :(
Gruß
DerGraf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:49 Sa 16.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Vielen Dank für die schnelle Antwort. Wie du siehst, habe
> ich gleich eine Nachtschicht eingelegt, um die Aufgaben
> weiter zu bearbeiten. Hier erstmal der aktuelle Stand:
>
> zu e) x(t) läuft von -1 bis 1. Somit bewegt sich [mm]x(t)^2[/mm]
> zwischen 0 und 1. Wenn ich x(t) mal konstant 0 setze,
> erhalte ich 0 als unteren Grenzwert. Setze ich x(t)
> konstant 1, erhalte ich als Grenzwert 1. Die x(t) aus M
> befinden sich dazwischen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Kannst du das auch etwas mathematischer begruenden?
> Gehen wir nun von einem steilen Anstieg von 0 auf 1 aus
> angefangen bei x(0)=0, kann man sich der 1 schon sehr gut
> annähern. Erreichen kann man Sie nicht, denn dann hätte
> die Funktion bei x(0) einen Sprung. Befindet sich dieser
> Anstieg dicht bei t=1, so beträgt das Integral fast 0.
> Erreicht wird dieser Grenzwert ebenfalls nicht, da wir bei
> t=1 sonst einen Sprung hätten, womit x(t) nicht mehr
> stetig wäre. Damit nimmt f weder Maximum noch Minimum an.
Das ist die richtige Idee. Jetzt musst du es formal korrekt aufschreiben.
Insbesondere der Teil, dass die Grenzwerte nicht angenommen werden, benoetigt ein wenig Arbeit. Beachte dafuer, dass fuer eine Funktion $f [mm] \ge [/mm] 0$ mit [mm] $\int [/mm] f dx = 0$ folgt $f = 0$. (Und Quadrate sind immer [mm] $\ge [/mm] 0$.)
> zu d) Die Rechnung kann ich so weit verfolgen, nur weiß
> ich nicht, wie ich den Integranten abschätzen soll. Meinst
> du, ich soll einfach d in das Integral einsetzen, weil die
> Differenz ebenso gegen 0 geht, wie die Abstandsfunktion?
Es gilt doch $(b - a) [mm] \cdot \min_{x \in [a, b]} [/mm] f(x) [mm] \le \int_a^b [/mm] f dx [mm] \le [/mm] (b - a) [mm] \cdot \max_{x \in [a, b]} [/mm] f(x)$. Kannst du damit was anfangen?
> zu b) Es ist gar nicht so leicht, eine unbestimmte
> divergente Funktionsfolge zu finden, welche für t=0
> wirklich 0 und für t=1 wirklich 1 ist. :(
Schau dir mal ganz einfache Polynome an. Kennst du ganz einfache, die bei 0 gleich 0 und bei 1 gleich 1 sind?
Du kannst welche finden (ganz einfache!), so dass diese Folge von Funktionen punktweise gegen die Funktion konvergiert, die fuer $x < 1$ konstant 0 ist und fuer $x = 1$ den Wert 1 annimmt -- und diese ist nicht stetig.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:53 Sa 16.10.2010 | | Autor: | DerGraf |
zu b) [mm] t^{n} [/mm] funktioniert perfekt, da Sie bei t=1 einen Sprung zur 1 macht, was der Stetigkeit wiederspricht. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Sa 16.10.2010 | | Autor: | DerGraf |
zu d)
Sei [mm] x_{n}(t) [/mm] eine Funktionsfolge in M mit Grenzwert x(t), dann gilt:
[mm] x_{n}(t)\rightarrow [/mm] x(t)
[mm] \Rightarrow x_{n}(t)^{2}\rightarrow x(t)^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{n}(t)^{2}-x(t)^{2}\rightarrow [/mm] 0
[mm] \Rightarrow \integral_{0}^{1}{x_{n}(t)^{2}-x(t)^{2} dx}\rightarrow [/mm] 0
[mm] \Rightarrow \integral_{0}^{1}{x_{n}(t)^{2} dx}-\integral_{0}^{1}{x(t)^{2} dx}\rightarrow [/mm] 0
[mm] \Rightarrow \integral_{0}^{1}{x_{n}(t)^{2} dx}\rightarrow \integral_{0}^{1}{x(t)^{2} dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(x_{n}(t))\rightarrow [/mm] f(x(t))
Dies entspricht der Definition von Folgenstetigkeit.
Kann ich das so stehen lassen?
Gruß
DerGraf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 So 17.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> zu d)
>
> Sei [mm]x_{n}(t)[/mm] eine Funktionsfolge in M mit Grenzwert x(t),
> dann gilt:
Sag es deutlich: [mm] (x_n) [/mm] konvergiert auf [0,1] gleichmäßig gegen x
>
> [mm]x_{n}(t)\rightarrow[/mm] x(t)
> [mm]\Rightarrow x_{n}(t)^{2}\rightarrow x(t)^{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow x_{n}(t)^{2}-x(t)^{2}\rightarrow[/mm]
> 0
> [mm]\Rightarrow \integral_{0}^{1}{x_{n}(t)^{2}-x(t)^{2} dx}\rightarrow[/mm]
Hier benötigst Du die gleichmäßige Konvergenz !
> 0
> [mm]\Rightarrow \integral_{0}^{1}{x_{n}(t)^{2} dx}-\integral_{0}^{1}{x(t)^{2} dx}\rightarrow[/mm]
#
> 0
> [mm]\Rightarrow \integral_{0}^{1}{x_{n}(t)^{2} dx}\rightarrow \integral_{0}^{1}{x(t)^{2} dx}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(x_{n}(t))\rightarrow[/mm] f(x(t))
Besser: [mm]\Rightarrow f(x_{n})\rightarrow[/mm] f(x)
FRED
>
> Dies entspricht der Definition von Folgenstetigkeit.
> Kann ich das so stehen lassen?
>
> Gruß
> DerGraf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 So 17.10.2010 | | Autor: | DerGraf |
Danke für die Antwort. Bleibt noch Teil c)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 So 17.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei C[0,1] der Raum der stetigen Funktionen x:
> [mm][0,1]\rightarrow\IR[/mm] mit der Metrik [mm]d(x,y)=\max_{0\le t \le1}[/mm]
> |x(t)-y(t)| sowie [mm]M=\{x\in C[0,1]: x(0)=0 \wedge x(1)=1, |x(t)|\le1 \forall t\in[0,1] \}[/mm]
> Teilmenge von C[0,1].
>
> Weiterhin sei auf C[0,1] die Abbildung f:
> [mm]C[0,1]\rigthtarrow\IR[/mm] mit [mm]f(x)=\int_{0}^{1}x(t)^{2} \,[/mm] dt,
> [mm]x\in[/mm] C[0,1] definiert.
>
> c) Gibt es ein endliches [mm]\epsilon-Netz[/mm] für M (d.h. ist M
> präkompakt)?
So, ich hab mal nachgeschaut was das ist. (Unter den Namen [mm] $\varepsilon$-Netz [/mm] kannte ich es nicht.)
Es gibt kein endliches [mm] $\varepsilon$-Netz. [/mm] Nimm einfach [mm] $\varepsilon [/mm] < 1$, etwa [mm] $\varpesilon [/mm] = 1/2$, und nimm an es gibt [mm] $x_1, \dots, x_n \in [/mm] M$ mit $M [mm] \subseteq \bigcup_{i=1}^n B_\varepsilon(x_i)$.
[/mm]
Konsturiere jetzt eine Funktion $x [mm] \in [/mm] M$ mit $d(x, [mm] x_i) [/mm] > [mm] \varepsilon$ [/mm] fuer alle $i$. Dazu reicht es ja, wenn du zu jedem $i$ ein [mm] $t_i \in [/mm] [0, 1]$ hast mit [mm] $|x(t_i) [/mm] - [mm] x_i(t_i)| [/mm] > [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Du kannst etwa [mm] $t_i [/mm] = [mm] \frac{i}{n + 1}$ [/mm] waehlen; dann ist $0 < [mm] t_1 [/mm] < [mm] \dots [/mm] < [mm] t_n [/mm] < 1$. Und $x$ kannst du stueckweise linear waehlen; dann ist es auch stetig.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:22 So 17.10.2010 | | Autor: | DerGraf |
Vielen Dank für die viele Arbeit, die du in meine Aufgabe investierst. Ich habe allerdings immer noch ein kleines Problem. Zu einer gegebenen Funktionsfolge eine Funktion suchen, welche die Behauptung widerlegt, ist eine Sache, doch ich brauche eine Konstruktionsvorschrift für sämtliche Funktionsfolgen in M. Da fühle ich mich dann doch etwas überfordert. Wie mache ich das?
Gruß
derGraf
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 19.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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