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| Aufgabe | Seien [mm] $(\Omega_i, \mathcal{A}_i, \mu_i)$ [/mm] für $i=1,2$ Maßräume, zeige:
Für [mm] $\mu_2$ [/mm] endlich und [mm] $A\in\mathcal{A}_1 \otimes\mathcal{A}_1$ [/mm] ist
[mm] $f:(\Omega_1,\mathcal{A}_1)\rightarrow(\IR, \mathcal{B_{\IR}})$ [/mm] durch [mm] $\omega_1 \mapsto\mu_2(A_{\omega_1})$
[/mm]
messbar [mm] ($A_{\omega_1}=\{\omega_2\in\Omega_2 \ | \ (\omega_1,\omega_2)\in A\}$). [/mm] |
Hallo,
ich habe die Frage sonst nirgends gestellt.
ich habe gezeigt, dass [mm] $A_{\omega_1}$ [/mm] messbar ist, damit ist die Funktion wohldefiniert, nur wie zeige ich die Messbarkeit? Mein Ansatz wäre sich die Urbilder eines Erzeugendensystems von [mm] $\mathcal{B_{\IR}}$ [/mm] anzuschauen, also etwa die Urbilder offener Intervalle $(a,b)$:
[mm] $f^{-1}((a,b))=\{\omega_1 \in \Omega_1 \ | \ \mu_2(A_{\omega_1}) \in (a,b) \}$.
[/mm]
ich kann da leider keinen Zusammenhang zu [mm] $\mathcal{A}_1$ [/mm] erkennen, bin für alle Tipps dankbar!
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Hallo!
$D = [mm] \{A\in \mathcal{A}_{1}\otimes\mathcal{A}_{2}:\mu_{2}(A_{w_{1}}) \mbox{ ist }(\mathcal{A}_{1},B)-messbar\}$
[/mm]
Zeige, dass dieses ein Dynkin-System ist!
Finde ein [mm] \cap [/mm] - stabiles Erzeugendensystem E von [mm] \mathcal{A}_{1}\otimes\mathcal{A}_{2} [/mm] , sodass das von E erzeugte Dynkin-System D ist.
Nach einem Satz gilt dann D = A(E), d.h. D ist gleich der von E erzeugten [mm] \sigma-Algebra. [/mm] Damit ist die Aussage bewiesen.
Grüße,
Stefan
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Erst mal danke für die Anleitung,
leider ist mir nicht klar geworden wie man dieses $E$ konstruieren muss, wenn ich [mm] $\{A_1\times A_2\ \ | \ ...\}$ [/mm] wähle gewinne ich ja nichts!
Wie kommt man auf so ein Erzeugenden System, wo muss ich da ansetzen?
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Hallo,
du hast schon Recht gehabt, das Erzeugendensystem ist [mm] $\mathcal{A}_{1}\times \mathcal{A}_{2}$. [/mm] Dieses ist durchschnitts-stabil.
Wenn du auch gezeigt hast, dass das Dynkin-System D oben eines ist, und wenn du gezeigt hast dass [mm] $\mathcal{A}_{1}\times \mathcal{A}_{2}\in [/mm] D$, dann hast du insgesamt:
[mm] $\mathcal{A}_{1}\otimes \mathcal{A}_{2} [/mm] = [mm] A(\mathcal{A}_{1}\times \mathcal{A}_{2}) [/mm] = [mm] D(\mathcal{A}_{1}\times \mathcal{A}_{2}) \subset [/mm] D [mm] \subset \mathcal{A}_{1}\otimes \mathcal{A}_{2}$.
[/mm]
1. Teilmengenzeichen gilt wegen [mm] $\mathcal{A}_{1}\times \mathcal{A}_{2}\in [/mm] D$,
2. Teilmengenzeichen gilt weil D offensichtlich (nach Konstruktion) Teilmenge von [mm] \mathcal{A}_{1}\otimes \mathcal{A}_{2} [/mm] ist.
Grüße,
Stefan
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Hey ich stehe mal wieder auf der langen Leitung!
ich meinte eigentlich eher was ich durch den Ansatz gewinne, wo ich doch genau dasselbe zeigen muss wie bei meinem ersten Ansatz, wenn ich argumentieren möchte, dass [mm] $E\subset \mathcal{D}$ [/mm] ist.
Ich muss ja gerade nachweisen, dass für alle Mengen [mm] $A=A_1\times A_2, \mu(A_{\omega_1})$ [/mm] messbar ist, da liegt für mich die Schwierigkeit, den Rest habe ich glaube ich verstanden.
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Hallo,
> Hey ich stehe mal wieder auf der langen Leitung!
>
> ich meinte eigentlich eher was ich durch den Ansatz
> gewinne, wo ich doch genau dasselbe zeigen muss wie bei
> meinem ersten Ansatz, wenn ich argumentieren möchte, dass
> [mm]E\subset \mathcal{D}[/mm] ist.
> Ich muss ja gerade nachweisen, dass für alle Mengen
> [mm]A=A_1\times A_2, \mu(A_{\omega_1})[/mm] messbar ist, da liegt
> für mich die Schwierigkeit, den Rest habe ich glaube ich
> verstanden.
Aber es ist doch
[mm] $\mu_{2}(A_{w1}) [/mm] = [mm] \mu_{2}(\{w2\in \Omega2|(w1,w2)\in A = A1\times A2\}) [/mm] = [mm] \mu_{2}(A_{2})$
[/mm]
eine konstante (und somit messbare) Funktion!
Grüße,
Stefan
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