Messbarkeit von Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Di 28.06.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Ich habe gelernt, dass jede stetige oder integrierbare Funktion auch meßbar ist.
Gilt aber auch die Umkehrung, d.h. wenn f meßbar [mm] \Rightarrow [/mm] f ist integrierbar??
Oder gibt es Funktionen, die meßbar sind, aber NICHT integrierbar?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Di 28.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Selbstverständlich gibt es die. Jede konstante Funktion, die nicht die Nullfunktion ist, ist auf [mm] $\IR$ [/mm] Borel-messbar, aber über [mm] $\IR$ [/mm] nicht Lebesgue-integrierbar
Ist [mm] $(\Omega,{\cal A},\mu)$ [/mm] ein Maßraum und [mm] $f:\Omega \to \overline{\IR}$ [/mm] messbar, dann ist $f$ genau dann [mm] $\mu$-integrierbar, [/mm] wenn
[mm] $\int |f(\omega)|\, \mu(d\omega) [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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