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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:07 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Ladon |
Hallo,
ich habe einmal generell eine Frage zur [mm] \mathcal{A}-Messbarkeit (\mathcal{A} [/mm] ist [mm] \sigma-Algebra) [/mm] von Funktionen [mm] f:\Omega\to\IR\cup\{-\infty,\infty\}. [/mm] Ich weiß: f auf [mm] \Omega [/mm] ist [mm] \mathcal{A}-messbar [/mm] <=> [mm] \{\omega\in\Omega:f(\omega)<\alpha\}\in\mathcal{A}\forall\alpha\in\IR.
[/mm]
Wenn ich aber jetzt alle messbaren Funktionen [mm] \Omega\to\IR\cup\{-\infty,\infty\} [/mm] für gewisse [mm] \sigma-Algebren [/mm] in [mm] \Omega [/mm] beschreiben will, wie gehe ich vor? Was muss ich mir i.A. überlegen?
Ich freue mich auf eure Antworten.
MfG Ladon
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Ladon |
Hallo zusammen,
ich habe noch eine Frage:
Eine Definition der Messbarkeit von Funktionen ist, wie bereits erwähnt folgende:
f auf [mm]\Omega[/mm] ist [mm]\mathcal{A}-messbar[/mm] <=>[mm]\{\omega\in\Omega:f(\omega)<\alpha\}\in\mathcal{A}\forall\alpha\in\IR.[/mm]
Jetzt habe ich in diverser Literatur aber immer auch folgende Definition für die Messbarkeit von Funktionen gefunden:
Sei [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] ( [mm] \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra) [/mm] messbare Menge in [mm] \Omega. [/mm] f ist genau dann messbar, wenn [mm] f^{-1}(A) [/mm] messbar in [mm] \Omega [/mm] ist.
Was ist der Unterschied der Definitionen und wenn sie äquivalent sind, wie sieht man deren Äquivalenz?
MfG Ladon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Mo 11.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Machen wirs ganz allgemein:
Seien X und Y nichtleere Mengen, [mm] \mathcal{A} [/mm] sei eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra auf X und [mm] \mathcal{B} [/mm] sei eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra auf Y.
Weiter sei f:X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung.
f heißt [mm] \mathcal{A} [/mm] - [mm] \mathcal{B} [/mm] - messbar, wenn
[mm] f^{-1}(B) \in \mathcal{A} [/mm] für jedes B [mm] \in \mathcal{B}.
[/mm]
Ist nun speziell [mm] Y=\IR\cup\{-\infty,\infty\} [/mm] und [mm] \mathcal{B} [/mm] die Borelsche [mm] \sigma [/mm] - Algebra auf Y, so gilt:
f ist [mm] \mathcal{A} [/mm] - [mm] \mathcal{B} [/mm] - messbar
[mm] \gdw [/mm]
$ [mm] \{\omega\in\Omega:f(\omega)<\alpha\}\in\mathcal{A}\$ [/mm] für alle [mm] \alpha \in \IR.
[/mm]
Versuche mal einen Beweis !
FRED
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:51 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Ladon |
Hallo fred,
danke dir für deine Antwort. Ich würde zunächst mit der Hinrichtung beginnen.
[mm] "\Rightarrow:" [/mm] f ist [mm] \mathcal{A}-\mathcal{B}-messbar \gdw f^{-1}(B)\in\mathcal{A}\forall B\in\mathcal{B}\gdw\{x\in\Omega:f(x)\in B\}\in\mathcal{A}\forall B\in\mathcal{B}
[/mm]
Das ist klar. Mir fällt allerdings der Übergang von [mm] \{x\in\Omega:f(x)\in B\}\in\mathcal{A}\forall B\in\mathcal{B} [/mm] zu [mm] \{x\in\Omega:f(x)\in[-\infty,\alpha[\}\in\mathcal{A}\forall \alpha\in\IR [/mm] schwer. Ich denke ich muss irgendwie die Eigenschaften von [mm] \sigma-Algebren [/mm] einsetzen, aber wie?
Hast du einen Hinweis?
MfG Ladon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Ladon |
Ich könnte mir nur einen Weg über die Borelsche [mm] \sigma-Algebra [/mm] zusammenbasteln, der mir spontan einfällt. Dabei würde ich nutzen, dass die Borelsche [mm] \sigma [/mm] -Algebra [mm] \mathcal{B}^1 [/mm] von offenen Teilmengen in [mm] \IR [/mm] erzeugt wird, also von Teilmengen der Form: [mm] ]-\infty,\alpha[ [/mm] mit [mm] \alpha\in\IR, [/mm] oder auch von halboffenen Intervallen.
Ob das zielführend ist, weiß ich nicht zu sagen...
MfG Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Ladon |
Heißt das, dass Äquivalenz nur im Sinne der Borelschen [mm] \sigma-Algebra [/mm] gilt, wie ich es in der Mitteilung zuvor ausgeführt habe?
Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben.
MfG Ladon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Heißt das, dass Äquivalenz nur im Sinne der Borelschen
> [mm]\sigma-Algebra[/mm] gilt,
Ja, sie gilt nur im Falle $ [mm] Y=\IR\cup\{-\infty,\infty\} [/mm] $ und $ [mm] \mathcal{B} [/mm] $ die Borelsche $ [mm] \sigma [/mm] $ - Algebra auf Y.
Etwas anderes würde auch kaum Sinn machen.
FRED
> wie ich es in der Mitteilung zuvor
> ausgeführt habe?
> Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben.
>
> MfG Ladon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Ladon |
Vielen Dank für deine Bestätigung. Jetzt weiß ich wie ich vorgehe.
MfG Ladon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 15.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 14.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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