Messbarkeit < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Di 29.01.2013 | | Autor: | DerBaum |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Seien $(X,\mathcal{A})$ und $(X_1,\mathcal{A}_1),\ldots (X_n,\mathcal{A}_n)$ Messräume und $\mathcal{B}:=\otimes\limits_{i=1}^n\mathcal{A}_i$. Zeigen Sie, dass eine Abbildung $f:X\to\prod\limits_{i=1}^nX_i$ genau dann $\mathcal{A}-\mathcal{B}$-messbar ist, wenn für alle $j\in\[1,\ldots,n\}$ die Funktion $pr_j\circ f:X\to X_j$ bereits $\mathcal{A}-\mathcal{A}_j$-messbar ist. |
Guten Abend liebe Forummitglieder,
ich beschäftige mich derzeit mit der oben stehenden Aufgabe, jedoch komme ich nicht voran.
Mir fehlt einfach der Ansatz.
Die Funktion $f$ ist ja $\\mathcal{A}-\mathcal{B}$-messbar, wenn gilt:
$f^{-1}(\mathcal{B})\subset A$.
Aber ich weiß leider trotzdem nicht weiter und würde mich sehr über ein wenig Unterstützung freuen.
Vielen Dank im Voraus
Liebe Grüße
Bäumlein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:28 Mi 30.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm](X,\mathcal{A})[/mm] und [mm](X_1,\mathcal{A}_1),\ldots (X_n,\mathcal{A}_n)[/mm]
> Messräume und
> [mm]\mathcal{B}:=\otimes\limits_{i=1}^n\mathcal{A}_i[/mm]. Zeigen
> Sie, dass eine Abbildung [mm]f:X\to\prod\limits_{i=1}^nX_i[/mm]
> genau dann [mm]\mathcal{A}-\mathcal{B}[/mm]-messbar ist, wenn für
> alle [mm]j\in\[1,\ldots,n\}[/mm] die Funktion [mm]pr_j\circ f:X\to X_j[/mm]
> bereits [mm]\mathcal{A}-\mathcal{A}_j[/mm]-messbar ist.
>
> Guten Abend liebe Forummitglieder,
> ich beschäftige mich derzeit mit der oben stehenden
> Aufgabe, jedoch komme ich nicht voran.
> Mir fehlt einfach der Ansatz.
>
> Die Funktion [mm]f[/mm] ist ja [mm]\\mathcal{A}-\mathcal{B}[/mm]-messbar,
> wenn gilt:
> [mm]f^{-1}(\mathcal{B})\subset A[/mm].
>
> Aber ich weiß leider trotzdem nicht weiter und würde mich
> sehr über ein wenig Unterstützung freuen.
>
> Vielen Dank im Voraus
>
> Liebe Grüße
> Bäumlein
Nach Def. ist doch [mm] \mathcal{B} [/mm] die kleinste [mm] \sigma [/mm] - Algebra auf X, so dass alle [mm] pr_j [/mm] messbar sind.
Ist also f messbar, so sind alle [mm] pr_j \circ [/mm] f messbar.
Nun versuche Du mal die Umkehrung.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Mi 30.01.2013 | | Autor: | DerBaum |
Hallo fred,
vielen Dank für deine Antwort.
Ich habe es nun mal probiert, weiß aber nicht, ob das so richtig ist:
[mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Da [mm] $\mathcal{B}:=\otimes_{i=1}^n\mathcal{A}_i=\sigma(\bigcup\limits_{i=1}^npr_i^{-1}(\mathcal{A}_i))$ [/mm] die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf $X$ für die alle [mm] $pr_i$ [/mm] messbar sind, gilt:
[mm] $\sigma(\mathcal{B})=\sigma(\varepsilon)$ [/mm] und [mm] $f^{-1}(\mathcal{B})=f^{-1}(\otimes_{i=1}^n\mathcal{A}_i)\subset\mathcal{A}$, [/mm] da [mm] $f\quad \mathcal{A-B}$-messbar.
[/mm]
Das heißt, da $f$ messbar ist und [mm] $pr_i$ [/mm] schon messbar ist und Verknüpfungen messbarer Funktionen wieder messbar sind, [mm] folgt:$pr_j\circ [/mm] f$ ist [mm] $\mathcal{A-A}_j$-messbar.
[/mm]
[mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
[mm] $pr_j$ [/mm] ist bereits nach Def. stetig und messbar, womit zu zeigen bleibt, dass $f$ bereits messbar sein muss.
Es gilt:
[mm] $(pr_j\circ f)^{-1}(A_j)=^{*_1}f^{-1}(pr_j^{-1}(A_j))=f_j^{-1}(A_j\subset\mathcal{A}_j),\qquad A_j\in\mathcal{A}_j$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \; [/mm] f$ muss bereits messbar sein.
Aus $*_1$ folgt: [mm] $\bigcub\limits_{j=1}^nf_j(A_j)=f^{-1}(\underbrace{\bigcup\limits_{j=1}^npr_j(A_j)}_{=\mathcal{B}=\otimes_{i=1}^n\mathcal{A}_j})\Rightarrow f^{-1}(\mathcal{B}\subset \mathcal{A}.$
[/mm]
Beim letzten Schritt bin ich mir ganz und gar nicht sicher, ob das so stimmt.
Liebe Grüße
Bäumchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Mi 30.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
> Ich habe es nun mal probiert, weiß aber nicht, ob das so
> richtig ist:
>
> "[mm]\Rightarrow[/mm]":
> Da
> [mm]\mathcal{B}:=\otimes_{i=1}^n\mathcal{A}_i=\sigma(\bigcup\limits_{i=1}^npr_i^{-1}(\mathcal{A}_i))[/mm]
> die kleinste [mm]\sigma[/mm]-Algebra auf [mm]X[/mm] für die alle [mm]pr_i[/mm]
> messbar sind, gilt:
> [mm]\sigma(\mathcal{B})=\sigma(\varepsilon)[/mm]
Was ist [mm] \varepsilon [/mm] ???
> und
> [mm]f^{-1}(\mathcal{B})=f^{-1}(\otimes_{i=1}^n\mathcal{A}_i)\subset\mathcal{A}[/mm],
> da [mm]f\quad \mathcal{A-B}[/mm]-messbar.
> Das heißt, da [mm]f[/mm] messbar
> ist und [mm]pr_i[/mm] schon messbar ist und Verknüpfungen messbarer
> Funktionen wieder messbar sind, folgt:[mm]pr_j\circ f[/mm] ist
> [mm]\mathcal{A-A}_j[/mm]-messbar.
Das ist O.K.
>
> "[mm]\Leftarrow[/mm]":
> [mm]pr_j[/mm] ist bereits nach Def. stetig
"stetig" hat hier nichts zu suchen. Wir haben keinerlei Topologie
> und messbar, womit zu
> zeigen bleibt, dass [mm]f[/mm] bereits messbar sein muss.
> Es gilt:
> [mm](pr_j\circ f)^{-1}(A_j)=^{*_1}f^{-1}(pr_j^{-1}(A_j))=f_j^{-1}(A_j\subset\mathcal{A}_j),\qquad A_j\in\mathcal{A}_j[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \; f[/mm] muss bereits messbar sein.
Was ist ??? Da oben gehts drunter und drüber. Verständlich ist das nicht.
>
> Aus [mm]*_1[/mm] folgt:
> [mm]\bigcub\limits_{j=1}^nf_j(A_j)=f^{-1}(\underbrace{\bigcup\limits_{j=1}^npr_j(A_j)}_{=\mathcal{B}=\otimes_{i=1}^n\mathcal{A}_j})\Rightarrow f^{-1}(\mathcal{B}\subset \mathcal{A}.[/mm]
Das ist das reinste Chaos ! ich hab keine Ahnung, wie ich das kommentieren soll.
FRED
>
> Beim letzten Schritt bin ich mir ganz und gar nicht sicher,
> ob das so stimmt.
>
> Liebe Grüße
> Bäumchen
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:58 Mi 30.01.2013 | | Autor: | DerBaum |
Hallo Fred,
müsste nicht
[mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{n} pr_i ^{-1}(A_i)
[/mm]
sein?
LG
Bäumchen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Mi 30.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Fred,
> müsste nicht
> [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\bigcup_{i=1}^{n} pr_i ^{-1}(A_i)[/mm]
wie Fred schon fragte: Was ist bei Dir [mm] $\varepsilon$ [/mm] per Definitionem?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:33 Mi 30.01.2013 | | Autor: | DerBaum |
> Hallo,
>
> > Hallo Fred,
> > müsste nicht
> > [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\bigcup_{i=1}^{n} \{pr_i ^{-1}(A_i)\}[/mm]
>
> wie Fred schon fragte: Was ist bei Dir [mm]\varepsilon[/mm] per
> Definitionem?
>
> Gruß,
> Marcel
[mm] $\varepsilon$ [/mm] ist das Erzeugendensystem von [mm] $\otimes_{i=1}^n\mathcal{A}_i$ [/mm]
LG Baum
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 01.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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