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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Di 26.10.2010 | | Autor: | cmueller |
| Aufgabe | Es sei [mm] \mathcal [/mm] {T} die Standardtopologie auf [mm] \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen [mm] \mathcal{A_{\mathcal{T}}}-\mathcal{A_{\mathcal{T}}}-messbar [/mm] sind.
1. $f: [mm] \IR \to \IR [/mm] $, [mm] f(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{wenn} x \mbox{= 0} \\ \bruch{1}{m}, & \mbox{wenn } x = \bruch{m}{n} \mbox {mit} n \in \IZ \backslash \{0\}, m \in \IN^{+} \mbox {und} ggT (|n|,m) = 1 \\ 0, & \mbox {wenn} x \in \IR \backslash \IQ \end{cases}
[/mm]
2. $g: [mm] \IR \to \IR [/mm] $ , $g(x) = [mm] sin(\wurzel{|x|})$ [/mm] |
Hallo =)
sehe ich das richtig, dass mit [mm] \mathcal{A_{\mathcal{T}}}-\mathcal{A_{\mathcal{T}}}-messbar [/mm] gemeint ist, dass ich zeigen soll:
Für f ist das [mm] \mathcal{A_{\mathcal{T}}}-\mathcal{A_{\mathcal{T}}}-messbar, [/mm] wenn
[mm] \forall [/mm] A [mm] \in \mathcal [/mm] {T} : [mm] f^{-1}(A) \in \mathcal{T}
[/mm]
?
Wenn ja muss ich ja für 1. 3 Fälle unterscheiden,
Fall 1: $ f(0)=1 $
Fall 2: $ [mm] f(\bruch [/mm] {m}{n}) = [mm] \bruch{1}{m}$ [/mm] mit den Bedinungen aus der Aufgabenstellung
Fall 3: $f(x) = 0$ sonst
So, 1. Frage, sonst brauche ich gar nicht weiter zu schreiben^^
Fall 1 kann ich ja "manuell" zeigen. ABER
ich bin ja jetzt bei [mm] f^{-1} [/mm] heißt das ich überprüfe für
A = 0, dass gilt: [mm] f^{-2}(0)=1 [/mm] ?
oder Betrachte ich trotzdem [mm] f^{-1}(1)=0 [/mm] ?
EDIT: Ist überhaupt zu zeigen, dass [mm] \forall [/mm] A [mm] \in \mathcal [/mm] {T} : [mm] f^{-1}(A) \in \mathcal{T}?
[/mm]
In der Vorlesung haben wir definiert:
Definition: Seien [mm] (X,\mathcal{A}) [/mm] und (Y, [mm] \mathcal{B}) [/mm] zwei messbare Räme. Dann nennt man eine Funktion $f: X [mm] \to [/mm] Y $ [mm] \mathcal{A}-\mathcal{B}-messbar, [/mm] wenn für jedes B [mm] \in \mathcal [/mm] {B} gilt, dass [mm] f^{-1} [/mm] (B) [mm] \in \mathcal [/mm] {A}.
Proposition: Seien (X, [mm] \mathcal{T}) [/mm] und (Y, [mm] \mathcal{S}) [/mm] zwei topologische Räume und sei $f: X [mm] \to [/mm] Y $ [mm] \mathcal{T}-\mathcal{S}-stetig.
[/mm]
Dann ist f [mm] \mathcal {A_{\mathcal{T}}}-\mathcal{A_{\mathcal{S}}}-messbar.
[/mm]
...muss ich stetigkeit zeigen?
Hílfe, jetzt bin ich komplett verwirrt :( kann mir jemand helfen, meine Gedanken zu ordnen? Bitte!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Mi 27.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?t=725450
FRED
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