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| Aufgabe | Sei [mm] (f_n)_{n\in \IN}, f_n:\IR->\IR [/mm] eine Folge von messbaren Funktionen. Zeigen Sie, dass dann die Menge
E= [mm] \{x\in\IR: \limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x) existiert\}, [/mm] Borelmessbar ist. |
Hallo,
Ich habe so meine Schwierigkeiten beim lösen dieser Aufgabe:
Man muss zeigen, dass E [mm] \in [/mm] B, wobei B die Borel-Algebra ist.
Ich glaube, dass die Funktion [mm] f:=\limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x) [/mm] Messbar ist als Grenzwert messbarer Funktionen.
Wenn ich nun zeigen könnte, dass f(E) [mm] \in [/mm] B ist, dann wäre der Beweis schon vollbracht. Hat jemand einen Tipp, wie man das zeigen könnte?
Vielen Dank und grüße
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Hiho,
beachte, dass [mm]\limes_{n\to\infty} f_n(x)$ \text{ existiert } \gdw \limsup_{n \to \infty}f_n(x) = \liminf_{n\to\infty}f_n(x)[/mm] und du die Menge daher umschreiben kannst zu:
$E = [mm] \{x\in\IR | \limes\sup_{n\to\infty}f_n(x) = \limes\inf_{n\to\infty}f_n(x)\}$
[/mm]
Was weisst du denn über [mm] $\limes\sup_{n\to\infty}f_n(x)$ [/mm] bzw. [mm] $\limes\inf_{n\to\infty}f_n(x)$ [/mm] ?
Hilft dir das?
MFG,
Gono.
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