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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Rudy |
| Aufgabe | [mm] X=X'=\{0,1,2\}
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Sigmaalgebren [mm] \IA [/mm] = [mm] \sigma(\{0\} [/mm] und [mm] \IA' [/mm] = [mm] \sigma((1))
[/mm]
b) Sind die folgenden Funktion (X, [mm] \mathcal{A}) [/mm] - (X', [mm] \mathcal{A'}) [/mm] messbar?
[mm] f_1(t) [/mm] = t
[mm] f_2(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{wenn} t=0 \\ 1, & \mbox{wenn } t=1,2 \end{cases} [/mm] |
Hallo
Zu Aufgabe A stimmt meine Lösung mit der Musterlösung überein
a) [mm] \mathcal{A} [/mm] = [mm] \sigma((0)) [/mm] = [mm] \{ \emptyset, X, \{0\}, \{1,2\} \}
[/mm]
[mm] \mathcal{A'} [/mm] = [mm] \sigma((1)) [/mm] = [mm] \{ \emptyset, X , \{1\} , \{0,2\} \}
[/mm]
Aber bei Aufg b steht in der Lösung, [mm] f_1 [/mm] wäre nicht messbar und [mm] f_2 [/mm] schon. Meine Lösung ist jetzt aber
[mm] f_1(\{0\}) [/mm] = 0
[mm] f_1(\{1\}) [/mm] = 1
[mm] f_1(\{1\}) [/mm] = 1 [mm] \notin \mathcal{A}
[/mm]
Also ist f_1nicht messbar
[mm] f_2(\{0\}) [/mm] = 0
[mm] f_2(\{1\}) [/mm] = {1,2}
[mm] f_2(\{0\}) [/mm] = 0 [mm] \notin \mathcal{A'}
[/mm]
[mm] f_2 [/mm] nicht messbar
Kann mir mal jemand Aufgabe b für [mm] f_1 [/mm] komplett vorrechnen was ich machen muss? Damit ich sehe wie alle Fälle abgearbeitet werden, dann kriege ich es für [mm] f_2 [/mm] auch sicher hin.
Rudy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Sa 29.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]X=X'=\{0,1,2\}[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Sigmaalgebren [mm]\mathcal{A}=\sigma(\{0\})[/mm] und [mm]\mathcal{A}' = \sigma(\{1\})[/mm]
> b) Sind die folgenden Funktion [mm](X, \mathcal{A})[/mm] - [mm](X', \mathcal{A'})[/mm] messbar?
>
> [mm]f_1(t)[/mm] = t
> [mm]f_2(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{wenn} t=0 \\ 1, & \mbox{wenn } t=1,2 \end{cases}[/mm]
>
> Hallo
> Zu Aufgabe A stimmt meine Lösung mit der Musterlösung
> überein
>
> a) [mm]\mathcal{A}[/mm] = [mm]\sigma(\{0\})[/mm] = [mm]\{ \emptyset, X, \{0\}, \{1,2\} \}[/mm]
>
> [mm]\mathcal{A'}[/mm] = [mm]\sigma(\{1\})[/mm] = [mm]\{ \emptyset, X , \{1\} , \{0,2\} \}[/mm]
>
> Aber bei Aufg b steht in der Lösung, [mm]f_1[/mm] wäre nicht messbar
> und [mm]f_2[/mm] schon. Meine Lösung ist jetzt aber
> [mm]f_1(\{0\})[/mm] = 0
>
> [mm]f_1(\{1\})[/mm] = 1
>
> [mm]f_1(\{1\})[/mm] = 1 [mm]\notin \mathcal{A}[/mm]
>
> Also ist f_1nicht messbar
>
> [mm]f_2(\{0\})[/mm] = 0
>
> [mm]f_2(\{1\})[/mm] = {1,2}
>
>
> [mm]f_2(\{0\})[/mm] = 0 [mm]\notin \mathcal{A'}[/mm]
>
> [mm]f_2[/mm] nicht messbar
>
> Kann mir mal jemand Aufgabe b für [mm]f_1[/mm] komplett vorrechnen
> was ich machen muss?
Du musst die Urbilder der Elemente von [mm]\mathcal{A'}[/mm] unter [mm]f_1[/mm] betrachten, also
[mm] f_1^{-1}(\emptyset) = \emptyset \in\mathcal{A}[/mm]
[mm] f_1^{-1}(X) = X \in\mathcal{A}[/mm]
[mm] f_1^{-1}(\{1\}) = \{1\} \notin \mathcal{A}[/mm]
[mm] f_1^{-1}(\{0,2\}) = \{0,2\} \notin \mathcal{A}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:15 So 30.12.2007 | | Autor: | Rudy |
Hallo.
> > [mm]f_2(\{0\})[/mm] = 0
> >
> > [mm]f_2(\{1\})[/mm] = {1,2}
> >
> Du musst die Urbilder der Elemente von [mm]\mathcal{A'}[/mm] unter
[mm] f_2^{-1}((0)) [/mm] = 0 [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
[mm] f_2^{-1}((1)) [/mm] = 1 [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
[mm] f_2^{-1}((2)) [/mm] = 1 [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
Also ist [mm] f_2 [/mm] messbar.
Aber was ist denn mit [mm] \in \mathcal{A'}? [/mm] Muss ich jetzt noch einmal genau das Gleiche machen und gucken, ob es in [mm] \in \mathcal{A'} [/mm] liegt? Den Begriff "$ (X, [mm] \mathcal{A}) [/mm] $ - $ (X', [mm] \mathcal{A'}) [/mm] $ messbar" verstehe ich noch nicht ganz. Also dass [mm] \mathcal{A'} [/mm] wird ja nirgends verwendet. Das verwundert mich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 So 30.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > > [mm]f_2(\{0\})[/mm] = 0
> > >
> > > [mm]f_2(\{1\})[/mm] = {1,2}
> > >
>
> > Du musst die Urbilder der Elemente von [mm]\mathcal{A'}[/mm] unter
>
> [mm]f_2^{-1}((0))[/mm] = 0 [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
>
>
> [mm]f_2^{-1}((1))[/mm] = 1 [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
>
>
> [mm]f_2^{-1}((2))[/mm] = 1 [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
[mm]\{2\}[/mm] gehört nicht zu [mm] \mathcal{A}'[/mm].
> Also ist [mm]f_2[/mm] messbar.
Das hast du nicht gezeigt.
> Aber was ist denn mit [mm]\in \mathcal{A'}?[/mm] Muss ich jetzt noch
> einmal genau das Gleiche machen und gucken, ob es in [mm]\in \mathcal{A'}[/mm]
> liegt? Den Begriff "[mm] (X, \mathcal{A})[/mm] - [mm](X', \mathcal{A'})[/mm]
> messbar" verstehe ich noch nicht ganz.
Messbarkeitkeit bezieht sich immer auf Abbildungen von einem Maßraum in einen anderen, hier von [mm] (X, \mathcal{A})[/mm] nach [mm](X', \mathcal{A'})[/mm], das ist damit gemeint.
> Also dass
> [mm]\mathcal{A'}[/mm] wird ja nirgends verwendet.
Stimmt nicht. Hast du dir meine erste Antwort richtig angeschaut? Du betrachtest die Urbilder der Elemente von [mm]\mathcal{A'}[/mm] unter [mm]f_2[/mm]:
[mm] f_2^{-1}(\emptyset) = \emptyset \in\mathcal{A}[/mm]
[mm] f_2^{-1}(X) = X \in\mathcal{A}[/mm]
[mm] f_2^{-1}(\{1\}) = \{1,2\} \in \mathcal{A}[/mm]
[mm] f_2^{-1}(\{0,2\}) = \{0\} \in \mathcal{A}[/mm]
Also ist [mm]f_2[/mm] messbar.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:19 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Rudy |
> [mm]f_2^{-1}(\emptyset) = \emptyset \in\mathcal{A}[/mm]
>
> [mm]f_2^{-1}(X) = X \in\mathcal{A}[/mm]
>
> [mm]f_2^{-1}(\{1\}) = \{1,2\} \in \mathcal{A}[/mm]
>
> [mm]f_2^{-1}(\{0,2\}) = \{0\} \in \mathcal{A}[/mm]
Das versteh ich nicht. Wieso gilt [mm]f_2^{-1}(\{0,2\}) = \{0\} \in \mathcal{A}[/mm]. Warum 0? Das ist [mm] \0 [/mm] ?
Kann mir das mal jemand erklären? Ich will nur sicher gehen, dass da die leere Menge herauskommt. Wäre schön, wenn da noch mal jemand drauf eingeht.
Gruß Rudy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Fr 04.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das versteh ich nicht. Wieso gilt [mm]f_2^{-1}(\{0,2\}) = \{0\} \in \mathcal{A}[/mm].
Nach Definition:
[mm] f_2^{-1}(Y) = \{ x \mid f_2(x) \in Y \} [/mm]
und [mm]f_2(0) = 0 \in \{0,2\}[/mm]. Also ist auf jeden Fall schon mal [mm]0\in f_2^{-1}(\{0,2\})[/mm].
Da es kein x gibt mit [mm]f_2(x)=2[/mm], war's dann auch schon.
Und [mm]\{0\} \in \mathcal{A}[/mm] nach Definition von [mm]\mathcal{A}[/mm].
> Warum 0? Das ist [mm]\0[/mm] ?
> Kann mir das mal jemand erklären? Ich will nur sicher
> gehen, dass da die leere Menge herauskommt.
Was meinst du? Da kommt nicht die leere Menge raus, sondern die Menge mit dem einen Element 0.
Viele Grüße
Rainer
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