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| Aufgabe | | Sei p eine Primzahl [mm] \not= [/mm] 2. Ist t ein Teiler von [mm] M_{p} [/mm] = [mm] 2^{p} [/mm] - 1, dann gilt: t [mm] \equiv [/mm] 1 mod2p. |
Hallo,
ich habe folgendes, bin mir aber unsicher, ob das so überhaupt stimmt. Mit der Vorraussetzung ist t ein Teiler von [mm] 2^{p} [/mm] - 1, d.h. es gibt ein v mit vt = [mm] 2^{p} [/mm] - 1. Weiter gilt mit dem kleinen Satz von Fermat, dass [mm] 2^{p-1} \equiv [/mm] 1 modp, also dass es ein z gibt mit zp = [mm] 2^{p-1} [/mm] - 1. Multipliziert man letzteres mit 2 ergibt sich 2zp = [mm] 2^{p} [/mm] - 2 = [mm] (2^{p} [/mm] - 1) - 1 = vt - 1. Daraus folgt: vt [mm] \equiv [/mm] 1 mod2zp, also auch t [mm] \equiv [/mm] 1 mod 2zp. Da z und p teilerfremd sind, gilt dann aber auch schon t [mm] \equiv [/mm] 1 mod 2p.
Haut das so hin?
Grüße, Steffen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Mi 11.06.2008 | | Autor: | pelzig |
Ok ich hab es jetzt nur überflogen und stell mich mal ganz dumm:
> Sei p eine Primzahl [mm]\not=[/mm] 2. Ist t ein Teiler von [mm]M_{p}[/mm] =
> [mm]2^{p}[/mm] - 1, dann gilt: t [mm]\equiv[/mm] 1 mod2p.
> Mit der Vorraussetzung ist t ein Teiler
> von [mm]2^{p}[/mm] - 1, d.h. es gibt ein v mit vt = [mm]2^{p}[/mm] - 1.
Jo.
> Weiter gilt mit dem kleinen Satz von Fermat, dass [mm]2^{p-1} \equiv[/mm] 1 modp
Jo.
> also dass es ein z gibt mit zp = [mm]2^{p-1}[/mm] - 1.
Jo.
> Multipliziert man letzteres mit 2 ergibt sich 2zp = [mm]2^{p}[/mm] -
> 2 = [mm](2^{p}[/mm] - 1) - 1 = vt - 1.
Jo.
> Daraus folgt: vt [mm]\equiv[/mm] 1 mod2zp
> also auch t [mm]\equiv[/mm] 1 mod 2zp.
Versteh ich nicht. Erklär das mal genauer. Z.b. ist [mm]2\cdot 3\equiv 1\pmod 5[/mm], aber [mm]2\not\equiv 1 \pmod 5[/mm]...
> Da z und p teilerfremd sind, gilt dann aber auch schon t [mm]\equiv[/mm] 1 mod 2p.
Auch hier würd ich erstmal nicht mitgehen, denn es ist ja nicht unbedingt [mm]ggT(z,2p)=1[/mm].
Gruß, Robert
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Hallo pelzig,
erstmal danke für deine Rückmeldung. So schnell kann man das also nicht beweisen :) . Also bis vt [mm] \equiv [/mm] 1 mod2zp scheint es OK zu sein. Ich würde die Schritte jetzt einfach umdrehen: Es muss ja ggt(p,2z)=1 sein (Du hattest natürlich recht, dass ggt(2p,z) nicht unbedingt 1 sein muss), denn p ist eine Primzahl [mm] \not= [/mm] 2 und z [mm] \not= [/mm] p. Also kann man aus vt [mm] \equiv [/mm] 1 mod2zp schon mal folgern vt [mm] \equiv [/mm] 1 modp. Aber mir ist ehrlich gesagt schleierhaft wie ich das v da raus bekomme. Ursprünglich dachte ich, dass man v einfach rauskürzen kann. Gibt es denn Kürzungsregeln für Kongruenzen?
Wenn das ginge, dann hätte ich t [mm] \equiv [/mm] 1 modp, dass ist zwar noch nicht die Behauptung, aber t muss ja eine ungerade Zahl sein, d.h. es würde gelte t [mm] \equiv [/mm] 1 mod2 und das kann ich zusammenfassen zu t [mm] \equiv [/mm] 1 mod2p (aufgrund der Regel, dass wenn a [mm] \equiv [/mm] b modm und a [mm] \equiv [/mm] b modn und ggt(m,n)=1, dann a [mm] \equiv [/mm] b modmn).
Oder?
Grüße, Steffen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Sa 14.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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