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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Di 16.02.2010 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | [mm] E_1=\{M \subseteq \mathbb{R}^n: M ist abgeschlossen\}
[/mm]
[mm] E_2=\{M \subseteq \mathbb{R}^n: M ist kompakt\} [/mm] |
Hallo. Ich muss zeigen, dass [mm] \sigma (E_1)= \sigma (E_2)
[/mm]
Da [mm] E_2 \subseteq E_1 [/mm] gilt [mm] \sigma (E_2) \subseteq \sigma (E_1).
[/mm]
Zu zeigen: [mm] E_1 \subseteq \sigma (E_2): [/mm] Dazu nimmt man eine abgeschlossene Menge M und stellt sie mittels abzählbare Vereinigungen / Schnitte kompakter Mengen dar. In der Übungsgruppe hatten wir folgende Darstellung:
M= [mm] \bigcup_{n \in \mathbb{N}} [/mm] M [mm] \cap \overline{B(0,n)}
[/mm]
Aber: zwar ist [mm] \overline{B(0,n)} [/mm] abgeschlossen und beschränkt, also kompakt, aber das M stört mich dabei, weil das ja nur abgeschlossen ist, aber nicht unbedingt beschränkt. Stimmt die Darstellung??
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar,
lg moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Di 16.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Aber: zwar ist [mm]\overline{B(0,n)}[/mm] abgeschlossen und
> beschränkt, also kompakt, aber das M stört mich dabei,
> weil das ja nur abgeschlossen ist, aber nicht unbedingt
> beschränkt. Stimmt die Darstellung??
Ja, denn wenn A beschränkt ist und C eine beliebige Menge, so ist [m]A\cap C[/m] beschränkt.
SEcki
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