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Hallo zusammen,
bei den Hausaufgaben in der Analysis bin ich auf ein sich mehrfach wiederholendes Problem gestoßen - die Verknüfung von [mm] \cap [/mm] und [mm] \cup [/mm] Operationen.
So lautet z. B. die Aufgabe, nachfolgenden Ausdruck zu vereinfachen:
[mm] \overline{(\overline{A} \cap\overline{B})}\cap(\overline{A}\cap\overline{B})
[/mm]
Bei der Umformung der Negation auf der linken Seite von [mm] \cap [/mm] komme ich auf
[mm] ({A}\cup{B})\cap(\overline{A}\cap\overline{B}).
[/mm]
Nun weiß ich leider nicht weiter; da ich nicht weiß, wie die weiteren Umformungen vor sich gehen könnten. Auch das "Ausmultiplizieren" der Klammer in Form von
[mm] ({A}\cap\overline{A})\cup({A}\cap\overline{B})\cup({B}\cap\overline{A})\cup({B}\cap\overline{B}) [/mm] = [mm] \emptyset\cup({A}\cap\overline{B})\cup({B}\cap\overline{A})\cup\emptyset
[/mm]
hat mich nicht zu dem (vom Prof vorgegebenen) Ergebnis [mm] \emptyset [/mm] gebracht.
Es wäre schön, wenn mir einer von euch weiterhelfen könnte.
Viele Grüße
Sven
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Hallo CrazyCroco,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo zusammen,
> bei den Hausaufgaben in der Analysis bin ich auf ein sich
> mehrfach wiederholendes Problem gestoßen - die Verknüfung
> von [mm]\cap[/mm] und [mm]\cup[/mm] Operationen.
> So lautet z. B. die Aufgabe, nachfolgenden Ausdruck zu
> vereinfachen:
> [mm]\overline{(\overline{A} \cap\overline{B})}\cap(\overline{A}\cap\overline{B})[/mm]
>
> Bei der Umformung der Negation auf der linken Seite von
> [mm]\cap[/mm] komme ich auf
> [mm]({A}\cup{B})\cap(\overline{A}\cap\overline{B}).[/mm]
> Nun weiß ich leider nicht weiter; da ich nicht weiß, wie
> die weiteren Umformungen vor sich gehen könnten. Auch das
> "Ausmultiplizieren" der Klammer in Form von
>
> [mm]({A}\cap\overline{A})\cup({A}\cap\overline{B})\cup({B}\cap\overline{A})\cup({B}\cap\overline{B})[/mm]
> =
> [mm]\emptyset\cup({A}\cap\overline{B})\cup({B}\cap\overline{A})\cup\emptyset[/mm]
> hat mich nicht zu dem (vom Prof vorgegebenen) Ergebnis
> [mm]\emptyset[/mm] gebracht.
Zu dem Ergebnis [mm]\emptyset[/mm] kommst Du viel schneller:
Nennen wir den rechts stehenden Ausdruck mal C:
[mm]C\;=\;\overline{A}\cap\overline{B}[/mm]
Links steht
[mm]\overline{(\overline{A} \cap\overline{B})}\;=\;\overline{C}[/mm]
Und was ist
[mm]\overline{C}\;\cap\;C[/mm]?
Gruß
MathePower
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Hallo MatheRaum, und vielen Dank für die schnelle Antwort; man sollte wohl doch Samstagabend nicht mehr so schwierige Dinge in Angriff nehmen 
Leider gibt es noch ein Problem, und zwar soll die Gültigkeit folgender Gleichung gezeigt werden:
[mm] {A}\cap({B}\setminus{C}) [/mm] = [mm] ({A}\cap{B})\setminus({A}\cap{C})
[/mm]
nach Umformung erhalte ich:
[mm] {A}\cap({B}\cap\overline{C})=({A}\cap{B})\cap\overline\({A}\cap{B}).
[/mm]
Als nächstes folgt:
[mm] {A}\cap({B}\cap\overline{C})=({A}\cap{B})\cap(\overline{A}\cup\overline{C})
[/mm]
Und nun habe ich auf der rechten Seite wieder die unglückliche Verknüfung von [mm] "(\cap)\cap(\cup)"
[/mm]
Ich habe es auch schon mit Substituion versucht, aber das hat leider auch nix gebracht.
Bitte nochmals um Hilfe.
Vielen Dank und viele Grüße
Sven
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Hallo!
> Leider gibt es noch ein Problem, und zwar soll die
> Gültigkeit folgender Gleichung gezeigt werden:
> [mm]{A}\cap({B}\setminus{C})[/mm] =
> [mm]({A}\cap{B})\setminus({A}\cap{C})[/mm]
> nach Umformung erhalte ich:
>
> [mm]{A}\cap({B}\cap\overline{C})=({A}\cap{B})\cap\overline\({A}\cap{B}).[/mm]
> Als nächstes folgt:
>
> [mm]{A}\cap({B}\cap\overline{C})=({A}\cap{B})\cap(\overline{A}\cup\overline{C})[/mm]
> Und nun habe ich auf der rechten Seite wieder die
> unglückliche Verknüfung von [mm]"(\cap)\cap(\cup)"[/mm]
> Ich habe es auch schon mit Substituion versucht, aber das
> hat leider auch nix gebracht.
Bist du sicher, dass du das nur durch solche Umformungen machen sollst? Wir haben das immer so gemacht, dass wir uns ein Element aus der linken Seite genommen haben und dann die einzelnen Teile für das x zerpflückt haben, so dass wir nachher die Teile der rechten Seite da stehen hatten. Das sähe dann in deinem Fall so aus:
[mm] $x\in A\cap(B\backslash [/mm] C) [mm] \gdw (x\in A)\wedge(x\in(B\backslash [/mm] C)) [mm] \gdw (x\in A)\wedge(x\in B)\wedge (x\notin [/mm] C)$
Wenn wir das auf der rechten Seite genauso machen, haben wir:
[mm] $x\in(A\cap B)\backslash(A\cap [/mm] C) [mm] \gdw (x\in(A\cap B))\wedge(x\notin (A\cap [/mm] C)) [mm] \gdw (x\in A)\wedge(x\in B)\wedge((x\notin A)\vee(x\notin [/mm] C))$
da aber [mm] $(x\in [/mm] A)$ gelten muss (weil es ja da drin steht und mit einem "und" verknüpft ist), kann [mm] $(x\notin [/mm] A)$ nicht gelten, also muss [mm] $(x\notin [/mm] C)$ gelten. Und dann steht da das gleiche, wie auf der linken Seite.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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Vielen Dank für deine Antwort. Aber leider nein; wir müssen lt. Prof. die Terme/Gleichungen derart umformen, dass sich alles auf [mm] \cap, \cup [/mm] und ggf. die Negation zurückführen lässt :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 So 16.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Vielen Dank für deine Antwort. Aber leider nein; wir müssen
> lt. Prof. die Terme/Gleichungen derart umformen, dass sich
> alles auf [mm]\cap, \cup[/mm] und ggf. die Negation zurückführen
> lässt :-(
Also hast du umforumgsregeln gelernt? also Regeln, du anwenden darfst? Welche sind denn das genau?
SEcki
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Folgende Rechengesetze hatten wir und dürfen wir anwenden (aber vielleicht gibt es ja noch das ein oder andere mehr?):
- Identitätsgesetz
- Idempotenzgesetz
- Kommutativgesetz
- Komplementgesetz
- Assoziativgesetz
- Distributivgesetz
- Differenzgesetz
Aus der Logik heraus habe ich (für mich) das Ganze noch um den "Satz vom Widerspruch" erweitert.
Aber keines will zu der Lösung führen...
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Hallo!
Also, ich glaube, das geht trotzdem mit den gleichen Umformungen, wie ich es gestern abend gemacht habe:
[mm] $A\cap(B\backslash [/mm] C) = [mm] A\cap B\cap \overline{C}$
[/mm]
und die rechte Seite:
[mm] $(A\cap B)\backslash(A\cap [/mm] C) = [mm] A\cap B\cap\overline{A\cap C} [/mm] = [mm] A\cap B\cap(\overline{A}\cup\overline{C}) [/mm] = [mm] (A\cap B\cap\overline{A})\cup(A\cap B\cap\overline{C})$
[/mm]
und der Rest dann wie in meiner anderen Antwort.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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