Mengenoperationen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | (A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cup \overline{\overline A \cup \overline B \cup C)} \cup [/mm] (A [mm] \cap \overline{B} \cap [/mm] C) |
ich habe noch eine, an der ich etwas knabber.
ich habe als ergebnis M raus, also die grundmenge. kanns sein, dass ich falsch liege?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Mi 26.12.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Bunny,
bitte verwende für neue Aufgaben immer einen neuen Diskussionsfaden.
Gruß
Will
|
|
|
| |
|
ahso, ok, werd ich machen, wollte nur das forum net so zuspammen.
|
|
|
| |
|
> (A [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap[/mm] C) [mm]\cup \overline{\overline A \cup \overline B \cup C)} \cup[/mm]
> (A [mm]\cap \overline{B} \cap[/mm] C)
> ich habe noch eine, an der ich etwas knabber.
>
>
> ich habe als ergebnis M raus, also die grundmenge. kanns
> sein, dass ich falsch liege?
Hmm. Du hast nicht geschrieben, wie Du auf diese Lösung gekommen bist. Lass mich mal vorrechnen, wie ich vorgehen würde (mein Ergebnis ist ein anderes: Du kannst ja meine Lösung passend korrigieren)
[mm]\begin{array}{rcll}
(A\cap B \cap C)\cup \overline{(\overline{A}\cup \overline{B}\cup C)}\cup (A\cap B\cap\overline{C}) &=& \left((A\cap B \cap C)\cup (A\cap B\cap\overline{C})\right)\cup (A\cap B\cap\overline{C})\\
&=& \left((A\cap B)\cap(C\cup \overline{C})\right)\cup (A\cap B\cap\overline{C})\\
&=& (A\cap B)\cup (A\cap B\cap\overline{C})\\
&=& A\cap \left(B\cup (B\cap\overline{C})\right)\\
&=& A\cap B & \text{(da $B\cap \overline{C}\subseteq B$)}
\end{array}[/mm]
Revision 2: Ich hatte die Aufgabenstellung falsch abgeschrieben. Hier mein zweiter Anlauf:
[mm]\begin{array}{rcll}
(A\cap B \cap C)\cup \overline{(\overline{A}\cup \overline{B}\cup C)}\cup (A\cap \overline{B}\cap C) &=& \left((A\cap B \cap C)\cup (A\cap B\cap\overline{C})\right)\cup (A\cap \overline{B}\cap C)\\
&=& \left((A\cap B)\cap(C\cup \overline{C})\right)\cup (A\cap \overline{B}\cap C)\\
&=& (A\cap B)\cup (A\cap \overline{B} \cap C)\\
&=& A\cap \left(B\cup (\overline{B}\cap C)\right)\\
&=& A\cap (B\cup C)
\end{array}[/mm]
|
|
|
| |
|
du hastn kleinen fehler gemacht. in der letzten klammer steht [mm] \overline{B} [/mm] und nicht [mm] \overline{C}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Mi 26.12.2007 | | Autor: | Somebody |
> du hastn kleinen fehler gemacht. in der letzten klammer
> steht [mm]\overline{B}[/mm] und nicht [mm]\overline{C}[/mm]
Dies ist natürlich der maximal dumme Fehler: die Aufgabenstellung schon falsch abzuschreiben... - Ich werde meine Antwort entsprechend zu korrigieren versuchen (Revision 2).
|
|
|
| |
|
du schreibst, dass (C [mm] \cup \overline{C}) [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] ist. meiner meinung entspricht das aber der grundmenge ?! oder bin ich jetzt total verwirrt. die letzten schritte hab ich auch noch net so wirklich 100% verstanden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 Mi 26.12.2007 | | Autor: | Somebody |
> du schreibst, dass (C [mm]\cup \overline{C})[/mm] = [mm]\emptyset[/mm] ist.
Ich sehe das nirgends: wäre natürlich falsch (ausser die Grundmene wäre [mm] $\emptyset$ [/mm]  )
> meiner meinung entspricht das aber der grundmenge ?! oder
> bin ich jetzt total verwirrt.
Nach meinem Gefühl etwas zu salop hingeschrieben war allenfalls der Übergang von [mm] $B\cup (\overline{B}\cap [/mm] C)$ zu [mm] $B\cup [/mm] C$.
Aber in der Tat ist [mm] $B\cup (\overline{B}\cap C)=B\cup [/mm] C$.
Beweis: [mm] $B\cup (\overline{B}\cap C)\subseteq B\cup [/mm] C$ gilt, weil [mm] $B\subseteq B\cup [/mm] C$ und [mm] $\overline{B}\cap C\subseteq B\cup [/mm] C$.
[mm] $B\cup (\overline{B}\cap C)\supseteq B\cup [/mm] C$ ist leicht mühsamer zu zeigen: sicher ist [mm] $B\cup (\overline{B}\cap C)\supseteq [/mm] B$. Aber auch [mm] $B\cup (\overline{B}\cap C)\supseteq [/mm] C$ gilt: denn ein Element von $C$ liegt entweder in $B$ oder es liegt nicht in $B$, d.h. es liegt in [mm] $B\cup (\overline{B}\cap [/mm] C)$, was zu zeigen war.
Man könnte diesen Beweis, unter Verwendung von [mm] $B\red{=}B\cup (B\cap [/mm] C)$, so führen:
[mm]B\cup (\overline{B}\cap C)\red{=}B\cup\left((B\cap C)\cup (\overline{B}\cap C)\right)=B\cup\left((B\cup\overline{B})\cap C\right)=B\cup (M\cap C)=B\cup C[/mm]
>die letzten schritte hab ich
> auch noch net so wirklich 100% verstanden.
Das ist für mich zu wenig spezifisch: ich kann ja keinen Roman schreiben (andere Leser beklagen sich manchmal bereits über die Länge meiner Beiträge).
Bem: Wenn Du eine Antwort willst, solltest Du eine Frage stellen - nicht eine blosse Mitteilung senden.
|
|
|
| |
|
ohje, jetzt verlier ich ganz den faden :P
das mit C [mm] \cup \overline{C} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] schrieb ich, weil du es in deinen rechenschritten aufführtest und die klammer weg war auf einmal, also ging ich davon aus, dass du die leere menge meinst. und laut meinem buch müßte bei der behauptung C [mm] \cup \overline{C} [/mm] aber die grundmenge herauskommen.
hoffe ich hab mich nicht zu blöd ausgedrückt
|
|
|
| |
|
> ohje, jetzt verlier ich ganz den faden :P
>
> das mit C [mm]\cup \overline{C}[/mm] = [mm]\emptyset[/mm] schrieb ich, weil
> du es in deinen rechenschritten aufführtest und die klammer
> weg war auf einmal, also ging ich davon aus, dass du die
> leere menge meinst. und laut meinem buch müßte bei der
> behauptung C [mm]\cup \overline{C}[/mm] aber die grundmenge
> herauskommen. Das stimmt auch.
> hoffe ich hab mich nicht zu blöd ausgedrückt
Die Vereinfachung, die Dir nicht ganz geheuer ist, scheint die folgende zu sein:
[mm](A\cap B)\cap (C\cup \overline{C})=A\cap B[/mm]
Lass mich dies also ausführlicher schreiben:
[mm](A\cap B)\cap (C\cup \overline{C})=(A\cap B)\cap M=A\cap B[/mm]
Hier habe ich [mm] $C\cup\overline{C}$ [/mm] durch die Grundmenge $M$ ersetzt: was Du ja offenbar auch ganz in Ordnung findest. Wenn aber [mm] $A\cap B\subseteq [/mm] M$ ist (was für $M$ gleich Grundmenge sicher der Fall ist), dann ist natürlich [mm] $(A\cap B)\cap M=A\cap [/mm] B$.
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | (A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cup \overline{(\overline A \cup \overline{B} \cup C)} \cup [/mm] (A [mm] \cap \overline{B} \cap [/mm] C) |
Also hab die Aufgabe schonmal gestellt, nur irgendwie kann ichs net mehr lesen hier, ka, ob es am pc liegt.
Aber ich komme immernoch net auf das gleiche Ergebnis wie die Lösung.
Könnte vll nochmal einer mir den Ausdruck vereinfachen und eventuell Schritt für schritt jede Aktion mit nem Kommentar, weshalb. Wär sehr dankbar.
gruß
|
|
|
| |
|
> (A [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap[/mm] C) [mm]\cup \overline{(\overline A \cup \overline{B} \cup C)} \cup[/mm]
> (A [mm]\cap \overline{B} \cap[/mm] C)
> Also hab die Aufgabe schonmal gestellt, nur irgendwie kann
> ichs net mehr lesen hier, ka, ob es am pc liegt.
Hallo,
wenn Du den neulich Geschriebene nicht mehr lesen kannst, scheint mir das an Deinem Rechner zu liegen.
Ich kann alles lesen, und daher fände ich es wirklich müßig, alles, was Somebody vor weniger als einer Woche aufgeschrieben hat und in der Folge sehr ausführlich erklärt hat, erneut zu überlegen und aufzuschreiben.
Ich kopiere Dir seine Lösung hier herein, falls in dem alten Post wirklich der Wurm steckt, müßtest Du es hier ja jetzt lesen können:
$ [mm] \begin{array}{rcll} (A\cap B \cap C)\cup \overline{(\overline{A}\cup \overline{B}\cup C)}\cup (A\cap \overline{B}\cap C) &=& \left((A\cap B \cap C)\cup (A\cap B\cap\overline{C})\right)\cup (A\cap \overline{B}\cap C)\\ &=& \left((A\cap B)\cap(C\cup \overline{C})\right)\cup (A\cap \overline{B}\cap C)\\ &=& (A\cap B)\cup (A\cap \overline{B} \cap C)\\ &=& A\cap \left(B\cup (\overline{B}\cap C)\right)\\ &=& A\cap (B\cup C) \end{array} [/mm] $
> Aber ich komme immernoch net auf das gleiche Ergebnis wie
> die Lösung.
> Könnte vll nochmal einer mir den Ausdruck vereinfachen und
> eventuell Schritt für schritt jede Aktion mit nem
> Kommentar, weshalb. Wär sehr dankbar.
Ich fürchte, Du hast die Funktionsweise dieses Forums noch nicht richtig verstanden:
derjenige, der hier Aufgaben Schritt für Schritt mit Kommentaren vorrechnet, bist Du...
Gruß v. Angela
|
|
|
|
